Length of BD for a triangle ABC

  • 公開日時: 2018/11/01 03:37
  • 閲覧数: 185
  • コメント数: 5
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
The problem seems to be hard in spite of the appearance ^^
近谷邦彦 さん 2018/11/01 05:23:27 報告
2
おじゃま虫です。

頂点Aから対辺BCに垂線AHを下ろす。

[式:…]
[式:…]
[式:…]

[式:…]
[式:…]
[式:…]
辺々たすと
[式:…]
[式:…]
よって
[式:…]
[式:…]

う~む、見かけよらず難しい…
prime_132 さん 2018/11/02 16:07:36 報告
3
Superb ! prime_132.

2019? National Defense Medical College The 1st exam (Multiple choice question)
近谷邦彦 さん 2018/11/02 16:41:49 報告
4
・別解

[式:…]

[式:…]
[式:…]
[式:…]

[式:…]

頂点Aから対辺BCに垂線AHを下ろす。
BCが決まると、三平方の定理から BH、CH が出る。
[式:…]

[式:…]
さらに
[式:…]
または
[式:…]
これより
[式:…]

[式:…]

( //rio2016.5ch.net/math/ 面白スレ28-070,080,098,100 )

「AD が半整数なんだから、BD、CD も半整数でいいんぢゃない?」

[式:…]
prime_132 さん 2018/11/06 04:27:22 報告
5
The 2nd solution of prime_132 is also nice.

Here is the solution from Macedonia.

The lengths of BD and CD are integers ==>
The length of BC=BD+CD is an integer, too.
In the limit case, when AD⊥BC ==>
BC=sqrt(36.75)+sqrt(3.75)>7.
On the other hand BC<AB+AC=11 ==>
The possible integer lengths of BC are 8, 9 and 10.
If BC=8, then by the cosine rule cosB=97/112.
Applying the cosine rule to ΔABD leads to
AD^2=BD^2+AB^2 - 2*AB*BD*cosB.
Let BD=x ==>
12.25=x^2+49-14x*97/112 ==>
x^2-97x/8+36.75=0 ==>
x=(97±1)/16 ==>
The integer value is x=BD=6.
BC=9 and BC=10 don't lead to integer values of BD.
近谷邦彦 さん 2018/11/07 08:18:16 報告
Let $ABC$ be a triangle such that $AB=7,\ AC=4.$ Take a point $D$ on $BC$ satisfying $\displaystyle AD= \frac 72.$ Find the length of $BD$, given that the lengths of BD, CD are positive integers.