1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2 を証明せよ;

@t さん

  • 公開日時: 2018/10/27 15:15
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  • カテゴリ: 入試・教育

>平成30年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系
 >海洋技術環境学の入試問題です。

 > 「O、A、B、Cを頂点とする4面体の3つの線分OA、OB、OCが互いに
 >直交し、それぞれの長さがa、b、cであるとき、
 >頂点Oから平面ABCへ下ろした垂線の長さhを求めよ。」
 
 1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2 を証明せよ;

 

(獲た 定理に  命名願います)
[その名に恥じないものであることに重きを置き]

[[[[[[[[[[[[[

>超体積とはなにかというと、面積が二次元  体積が三次元だとすると
 >四次元以上の超立体の体積が超体積、
 >一般的にはN次元超体積と呼ばれます。

 
  R^k     (k∈{2,3,4,5)   に 於ける 超平面 H を定義する;
      ●原点O KARA H に 下した 垂線の長さを h とする●
 
 x[1]/a[1] + x[2]/a[2] = 1

 x[1]/a[1] + x[2]/a[2] + x[3]/a[3] = 1

 x[1]/a[1] + x[2]/a[2] + x[3]/a[3] + x[4]/a[4] = 1
 
      ↓ を 証明し 獲た 定理に  命名願います;
 
 x[1]/a[1] + x[2]/a[2] + x[3]/a[3] + x[4]/a[4] + x[5]/a[5] = 1
 
 ■1/h^2=1/a[1]^2 + 1/a[2]^2 + 1/a[3]^2 + 1/a[4]^2 + 1/a[5]^2■
 
 証明;(R^3 の場合は 瞬時に ●面積 ▼体積 を 用い 瞬時に証明いただいた)
 
      以下 ●底辺の長さ  ▼面積 を 用い
         ●底辺の面積  ▼体積 を 用い
         ●____   ▼______ を 用い
         
         
https://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/007/154069011305197127180.gif

   この 論法では 「超体積」って なーに? 定義は;___________________
          なる 質問が 出ない筈がない..
    定義を明確に願います;
          
       
        ↓の論法なら そんな 質問は でない    
https://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/007/154088607987969223177.gif  
  >一線 H⊂R^2, 一面 H⊂R^3 を 越えた後・・・後悔したことありますか?
 
 
 https://www.programming-edu.com/2017/06/08/definition-area/
                    に 邂逅した。
                   
 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
 

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1
おじゃま虫です。


デカルト座標を次のように取る。
 O (0, 0, 0)
 A (a, 0, 0)
 B (0, b, 0)
 C (0, 0, c)

平面ABCの式は
[式:…]

(解1)
垂線 ⊥ 平面ABC から
 垂線の足 ( L/a, L/b, L/c)
垂線の足 ∈ 平面ABC だから (1) より
[式:…]
[式:…]
よって
[式:…]
[式:…]

(解2)
P(x,y,z) とする。コーシーより
[式:…]
[式:…]
[式:…]
P ∈ 平面ABC のとき (1) より
[式:…]
[式:…]

「@t の公式」しかない?
prime_132 さん 2018/10/28 00:32:53 報告
2
ヘッセの公式でしょうか?

解法3としては, 中学数学的に, 四面体の体積を2通りで表すことになるでしょうか?

prime_132さんの解法のように, 切片形の平面の方程式の利用が簡単ですが, 残念ながら, 平面の方程式や空間の直線の方程式の分数形表示が載っている教科書は,私が知る限り, 体系数学しかないようです. 個人的には, 教えてしまいますが.

My Memo

197? 金沢大, 北大

1985 ? 慶応/医

1979, 80 ? 大阪工大

このすうじむの投稿のどこかのmy post
どなたかの質問に私とhondaさん, 平賀さんが答えていたような
近谷邦彦 さん 2018/10/30 00:54:25 報告
3
>>2
解法3では
⊿ABCの面積を求めるのでござるか?
それは中学生には(高校生でも)ムズイのでは?
辺長が√… の形なので、ヘロンの公式の√ 内を展開して自乗形にして使わネバダ。つまり、
[式:…]

[式:…]

[式:…]
prime_132 さん 2018/10/31 01:31:07 報告
4
高校生の場合, ベクトル表示の三角形の面積公式がありますので, 難しくはありません. 大学数学の外積がらみですね.

中学生の場合は, どうなるのでしょうか? おそらく, 三角形ABCをある直方体にはめ込んで求めるのかな

あるいは, 数オリ的に幾何をしっかり, 勉強している中学生の中には, デカルト グアの定理を直接, 利用するかもしれません.

My Memo

デカルト グアの定理

2008 ? 一橋大
1995 or 1996 山形大
広島大 ?
197? USAMO
ICUの高校入試?

等面四面体

多数 ! すうじあむのどこかにあるmy post

1958 阪大
198? 東大/文科
200? 東大/ 理科, 後期
1990 ? 名古屋, 京都 nearly equal USAMO, 高知
200? 東工大, 東北大
高校入試 ICU
近谷邦彦 さん 2018/11/01 03:40:24 報告