Rayleigh quotient を 用いて 等

@t さん

  • 公開日時: 2018/10/20 20:07
  • 閲覧数: 165
  • コメント数: 2
  • カテゴリ: 入試・教育

下↓を 本気で みて 暮らして 下さい;
http://deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf

> 「上↑見て暮らせ! ,下も見て暮らせ!」
http://kikuutan.hatenablog.com/entry/2017/10/25/%E3%80%8C%E4%B8%8A%E8%A6%8B%E3%81%A6%E6%9A%AE%E3%82%89%E3%81%99%E3%81%AA%E3%80%81%E4%B8%8B%E8%A6%8B%E3%81%A6%E6%9A%AE%E3%82%89%E3%81%9B%E3%80%8D%E3%81%AE%E5%B9%B8%E7%A6%8F%E8%A6%B3%E3%81%A7%E3%81%84

  東京工業大学の 制約条件 x^2+y^2=1 の 基で
    f[x,y]=x^2 + 4*Sqrt[2]*x*y + 3*y^2
 の 最大値 最小値 問題[FAQ] を 多様な発想 で求めて下さい;

  発想(レ)  ■問題を 視た刹那 ◆その筋 の◆ 人が ↑に
         Rayleigh quotient を 用いて
   あっちゅう 間 に 快答(<--本人の認識) を 記したが..■。

 発想(ラ) 世界の人の為す   束縛条件のもとで最適化を行うための
    ラグランジュの未定乗数法(method of Lagrange multiplier)
                は 必ず 具現願います;


  発想(ハ)「判別式]






  制約条件 x^2+y^2+z^2=1 の 基で f[x,y,z]=x*y+y*z+z*x の
    の 最大値 最小値を 多様な発想で求めて下さい;


         ■問題を 視た刹那 ◆その筋 の◆ 人が ↑に
         Rayleigh quotient を 用いて
     あっちゅう 間 に 快答 を 記したが..■。
       其れにも必ず倣う解答を 願います;
 発想(レ)●  先ず f[x,y,z]に対応する 対称行列 M は;
     M=

 発想(ラ)

 発想(ハ)「判別式]


  ●S; x*y + y*z + z*x = 3 が two-sheeted hyperboloid●<----曲面の名。
      da KARA!     x+y+z ≦ -3 または x+y+z ≧3  は視れば自明!。

   [1]          6*x*y + 9*y*z + z*x = 152
              の時 ↓の m , Mを定め

       x+y+z≧m または x+y+z≦M
が成り立つことを 証明 しなさい。(第243+___ 回準1級2次)

[2]  {(x,y,z)∈R^3|6*x*y+9*y*z+z*x = 152 }
     ∩{(x,y,z)∈R^3|(1/5)*x+(1/2)*y+(1/3)*z=k}=φ
       となる k の 範囲を 定めて 下さい;

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
おじゃま虫です。

(1) 東京工大の問題は

[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
等号は [式:…]

[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
等号は [式:…]


(2) 次の問題は

[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
等号成立は [式:…]

[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]


(3) 最後の ●S の問題
[1]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]

[式:…]
等号成立は [式:…]

[式:…]
等号成立は [式:…]

[2]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]

[式:…]
[式:…]
よって
[式:…]

〔ラグランジュの未定乗数法〕
束縛条件 g(x,y,z)=0 の下で関数 f(x,y,z) の極値を求めることは、
[式:…]
の極値を求めることに帰着する。
prime_132 さん 2018/10/22 14:43:37 報告
2
私の解法は, prime 123の最初の解法と全く同じでした. でも, 受験生には, この解法は無理ですね.
受験生の標準的な解法は, x = cos θ, y = sin θ とおいて合成でしょうか. その他には, 判別式の利用でしょうか. いずれにしても, このレベルの問題には, Lagrangeを使う場面は, 見当たりません.

x^2+y^2+z^2 ≥ xy + yz + zx は受験数学では, 常識です.

証明は, いくつかあるでしょうけれども. 対称性のないこの種の不等式の証明の基本として, 素直に差をとります. x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx = x^2 - (y+z)x y^2-yz+z^2 = [x- (y+z)/2]^2 + (3/4)(y-z)^2≥ 0 .

残りの問題は, C-B-S ですね.
近谷邦彦 さん 2018/10/24 21:24:12 報告