任意自然数の倍数判定

  • 公開日時: 2018/10/10 18:45
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  • カテゴリ: 研究・考察

ある自然数σ=10τ+υに対し、任意の自然数λ=10μ+νがσの倍数であるとは以下の条件を満たすことをいう

条件「λ=γσ ⇔ (10-υ)μ+(1+τ)ν=πσ」(π=γ-εとなる自然数γ,π、非負整数ε)

証明

以下、自然数γ,π、非負整数εとする。

いまλ=γσとすると

 γσ=10(τγ+ε)+(υγ-10ε)

 μ=τγ+ε,ν=υγ-10ε …(i)

またπ=γ-εとすると(i)より

 πσ=λ-(τ(υγ-ν)+υ(μ-τγ))=(10-υ)μ+(1+τ)ν …(ii)

よってλ=γσであるために(ii)が必要。

逆にこのとき

 πσ=λ+(λ-10μ)τ-υμ=(1+τ)λ-μσ

 (1+τ)λ=(π+μ)σ

となり(i)と1+τ>0より

 λ=γσ

ゆえに十分である。

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