ある入試問題を改題

  • 公開日時: 2018/10/01 22:01
  • 閲覧数: 257
  • コメント数: 2
  • カテゴリ: 入試・教育

ある入試問題を解いていたら、こんな面白いことに気付いたならそれを活かす問題にしたらいいのに、と思ったので改作して出題してみます(皆さん過去問研究に余念がないので、元ネタをご存知の方も多いだろうとは思いますが)。ちょうど今の時期の受験生の演習にぴったりではないでしょうか。

 

[式:…] 平面において、点 [式:…] を通る傾きが負の直線と曲線 [式:…] で囲まれる部分の面積の取り得る最小の値を [式:…] とする。
このとき、以下の条件をみたす点 [式:…] の存在する場所を [式:…] 平面に図示せよ。
条件: [式:…] 平面において、点 [式:…] を通る傾きが負の直線と曲線 [式:…] で囲まれる部分の面積の取り得る最小の値が [式:…] となる。

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1
おじゃま虫です。

定点(p,q)をとおる直線の傾きを dθ 変えたとき、面積は (1/2)L^2 dθ だけ変わる。
Lは、定点(p,q)から 双曲線xy=1との交点 までの距離である。
面積が最小 ⇔ 定点(p,q) から2つの交点までの距離が等しい。

いま、pq >1 なので x=pX, y=qY とおく。
点(x,y)=(p,q) は (X,Y)=(1,1) に移り、双曲線は XY = 1/pq < 1 に移る。
この場合は、直線の傾きが-1、つまり X+Y=2 のとき面積が最小となる。
双曲線 XY=1/pq と 直線 X+Y=2 に囲まれた部分の面積を f(pq) とおく。
[式:…]
よって
[式:…]

 面積の最小値S は pq によって決まる。
prime_132 さん 2018/10/02 10:34:00 報告
2
これはプロの解き方ですね。
受験生ではなかなかこう上手くはいかない・・・と思います。
アンドロメダ さん 2018/10/03 11:48:00 報告