2009神戸大学(後期)大問4

Aquarius さん

  • 公開日時: 2018/09/15 22:16
  • 閲覧数: 630
  • コメント数: 8
  • カテゴリ: 入試・教育

この問題の答案に関して質問があります.

自然数[式:…]について,以下の問いに答えよ.

(1) 恒等式[式:…]を利用して,[式:…][式:…]の公約数は1または5に限ることを示せ.

(2) (1)を用いて,[式:…][式:…]が1以外に公約数をもつような自然数[式:…]をすべて求めよ.

(3) 省略

 

(2)の答案について,[式:…]([式:…]は自然数)としてから,[式:…]に代入し,[式:…]として,[式:…]も5を約数にもつことを確かめているものをいくつか見つけました.

しかし,(1)で[式:…][式:…]の公約数が1または5に限ることを示しているため,(2)で[式:…][式:…]が1以外に公約数をもつならば,公約数は5であり,[式:…]([式:…]は自然数) ([式:…]は5で割って3余る自然数) とすれば,(1)より,[式:…]も5を約数にもつ,となり,[式:…][式:…]に代入して,5を約数にもつことを確かめる必要はないように思えます.それとも,私の考えが誤っていて,[式:…]が5を約数にもつことを確かめる必要があるのでしょうか.

お分かりの方がいらっしゃいましたら教えてください.

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
解答の書き方にもよると思いますが、
Aqariusさんの解答で、よいのでは、
ただ、
[式:…]が5の倍数を示しても
時間・記述量は変わらないと思います。
他の方のご意見はどうでしょうか?


 
クロニャンコ さん 2018/09/16 13:12:57 報告
2
なぜ[式:…]が5の倍数であることが分かるのですか?
(1)より公約数は1か5ですが、公約数が5であることの確認、証明は必要なのでは?
てるてる さん 2018/09/24 10:01:04 報告
3
>なぜ[式:[式:…]]が5の倍数であることが分かるのですか?


Aquariusコメント>(1)[[式:…][式:…]の公約数が1または5に限ることを示しているため,(2)で[式:…][式:…]が1以外に公約数をもつならば,公約数は5であり,[式:…](nは5で割って3余る自然数) とすれば,(1)より,[式:…]も5を約数にもつ。

上記表現は

[式:…]が5の倍数かつ[式:…]であるから[式:…]は5の倍数」ということを述べている。

すなわち、一般的な解答と同じと判断しました。


クロニャンコ さん 2018/09/24 17:08:49 報告
4
やはり[式:…]が5の倍数であることをいう必要があるということでいいでしょうか?
てるてる さん 2018/09/24 17:55:27 報告
5
公約数を持つとしたら,5である。よって
n+2=5k(k:自然数)よりn=5k-2 (k:自然数)
という記述だけでは、不十分。
n^2+1が5の倍数ということを断る必要があると思います。

 
クロニャンコ さん 2018/09/24 21:08:46 報告
6
クロニャンコさん

一般的な解答と同じ
とはどのような意味でしょうか.教えてください.
Aquarius さん 2018/09/24 22:06:31 報告
7
一般的という表現は、言い過ぎかも。
「n+2=5k(k:自然数)n=5k-2をn^2+1に代入して5の倍数を示す。」
解答です。

クロニャンコ さん 2018/09/24 22:47:27 報告
8
クロニャンコさん

返信遅くなってすみません.
よく考えてみると,[式:…]が5の倍数であることを証明しなければならない気がしてきました.もう少し考えをまとめてみます.
Aquarius さん 2018/09/29 19:16:08 報告