cosと整数

  • 公開日時: 2018/07/21 22:29
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  • カテゴリ: 入試・教育

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おじゃま虫の素案

k=0,k=n の項は1だから、本題は
[式:…]
としてよい。

(1) まづ、n個の [式:…] はn次の整係数多項式 1-T_n(x) の根である。
T_n(x) はn次の第一種チェビシェフ多項式。
n ≡ 0 (mod 4) のときは x=0 を根にもつから除外する。

(2) n個の 1/cos(2kπ/n) は n次の整係数多項式 {1-T_n(1/y)}y^n = t(y) の根である。

・n ≡ 1 (mod 4) のとき、
[式:…]

・n ≡ 3 (mod 4) のとき、
[式:…]

・n ≡ 2 (mod 4) のときは 2で割って、
[式:…]

n次の係数は1である。(モニック)
1次 … n-1次の係数はいずれもnの倍数と見られる。
[式:…] …… (*)

(3) さて、ここで
[式:…]
とおく。 ω は1のm乗根 [式:…]

[式:…]
より、ベキ指数がmの倍数の項のみが残る。したがって
[式:…]

(4) 最後に、n個の [式:…] は n次の整係数多項式 g(z) の根で、n次の係数は1(モニック)である。

根と係数の関係から、与式は g(z) における z^{n-1} の係数の(-1)倍に等しいが、これは f(y) における y^{m(n-1)} の係数の (-1)倍。

一方、(*) から
[式:…]
ゆえ、y^{m(n-1)} の係数(≠0 (mod n)) が残るためには
n | m(n-1)
n | m

y^{m(n-1)} の係数は
[式:…]
となるが、mはnで割り切れるから、C[m,*] はnの倍数。
∴ 与式はnの倍数。(ツッコミ所満載…そのうちボコボコ?)
prime_132 さん 2018/07/23 01:56:04 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \begin{document} $m$ を非負整数、$n$ を自然数とします。 \[ \sum_{k=0}^{n} \left( \cos \frac{2k \pi}{n} \right)^{-m} \equiv 1 \pmod n \] を示してください。 \end{document}