すうじあむ

自宅の本棚を探してみると，オレンジ色の表紙の
数学セミナー増刊「数学の問題 エレガントな解答をもとむ＝第3集」
(1988年日本評論社　一松信 編）の「問題76」がまさにこの問題でした。
（問題文では「正整数xとｙ」と書いてありますが，解答解説の中で「有理数x，y」にも触れられています。）

また，この記事の中に次の参考文献があげられていました。

［1］栗田稔　微積分学演習　学術図書出版　p.59
［2］遠山啓　微分と積分　その思想と方法　日本評論社　p.137
［3］佐藤大八郎　指数演算を可換にする2つの実代数的数の特長づけ
　　数学，岩波書店，24巻，3号，pp.223-226(1972)
［4］Daihachiro Sato，algebraic solution of x^y=y^x(0<x<y),Proc.Amer.Math.Soc.vol.31,no1.p.316(1972)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/24/3/24_3_223/_pdf/-char/ja

早々と情報をくださりありがとうございます。
相当、昔の本ですね。探してみます。

1991東大(後期)（(1)(2)略）
(3) を満たす正の有理数は，3以外に存在しないことを示せ。

2015名大　（(1)(2)略）
(3) 方程式の解で有理数であるものをすべて求めよ。

情報ありがとうございます。
名大は最近なので記憶していましたが、東大も出題していたのですね。
数セミ「エレガントな解答を求む」確認できました。
演習問題として面白い問題だと思いました。

の解xを求む。

・nが奇数（3以上）のとき：
　x = n,
　x = -{n/log(n)}W(-log(n)/n) > 0,

・nが偶数のとき：
　x = n,
　x = -{n/log(n)}W(-log(n)/n) > 0,　(n=2,4 のとき 8/n)
　x = -{n/log(n)}W( log(n)/n) < 0,

またお邪魔虫してます…