2001 一橋大 3️⃣ → 2018 一橋大 4️⃣

  • 公開日時: 2018/03/18 21:35
  • 閲覧数: 804
  • コメント数: 2
  • カテゴリ: 入試・教育

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2001 一橋大 第 3 問

四面体OAPQにおいて[式:…][式:…]である。

(1) [式:…]の面積Sを求めよ。

(2) [式:…]のとりうる範囲を求めよ。

(3) 四面体OAPQの体積Vの最大値を求めよ。
近谷 邦彦 さん 2018/03/18 21:49:38 報告
2
お邪魔虫です。

〔2001年〕
題意より、[式:…] の向きを x軸、y軸、z軸としてよい。
O (0,0,0)
P (p,0,0)
Q (0,q,0)
A (0,0,1) = R

[式:…]

[式:…]
[式:…]
(2018年と同じだ…)

(1)
[式:…]

(2)
[式:…]
[式:…]

[式:…]

(3) も 2018年と同様
prime_132 さん 2018/03/19 02:04:34 報告
2018 一橋大 第 4 問 $p,\ q$を正の実数とする. 原点を$O$とする座標空間内の3点$P(p,\ 0,\ 0),\ Q(0,\ q,\ 0),\ R(0,\ 0,\ 1)$ は$\displaystyle \angle{PRQ}=\frac{\pi}{6}$を満たす. 四面体$OPQR$の体積の最大値を求めよ。 \ 略 解 : 2ベクトル$\overrightarrow{RP}=(p,\ 0, -1),\ \overrightarrow{RQ}=(0,\ q,-1)$の内積から, $$(p^2+1)(q^2+1)=\frac 43$$ よって, Cauchy-Schwarz の不等式により, $$\displaystyle (pq+1)^2\leq(p^2+1)(q^2+1)=\frac 43\ (p,\ q>0)\Longleftrightarrow 0<pq\leq \frac{2\sqrt{3}-3}{3}$$ したがって, 題意の体積$\displaystyle V=\frac 16pq\leq \frac{2\sqrt{3}-3}{18}$ \ 等号は, $\displaystyle p=q=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}-1}{3}}$のとき成り立つから, 求める最大値は, $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-3}{18}$ である。