2018 東北大 理系 第 3 問

  • 公開日時: 2018/03/03 18:28
  • 閲覧数: 1269
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
ようやく, 日本の大学入試で, このタイプの不定方程式が出題されました。ここ数年, 一橋大の予想問題として直前期に, 紹介してきたのですが, ここにきて, 出たなあって感じです。ところで, もしかすると, 東北大の今回の問題と同じ問題が, 1974あたりに, 中央大の文系で, 穴埋め形式の誘導問題で出題されております。あとは, 2007, 2008 ? 東工大模試(どの予備校主催か定かではありませんが), 似たような形の不定方程式が出題されおります。調べてみます ^^ 因みに, 東工大で, x , y, zについての1次の不定方程式が出題されているようです。これも, 海外の数学コンテストでみたことがあるので調べてみます。
近谷邦彦 さん 2018/03/03 18:35:54 報告
2
実は2012年の第一回京◆実戦模試に次のような出題をしたことがあります.
理系の問題です.

 [式:…][式:…] の差が1になるような自然数 [式:…] をすべて求めよ.

出来は芳しくありませんでした.
さらに2015年の某予備校の医系添削問題に次の問題を出しました.

正の整数 [式:…] に対して方程式
  [式:…]
を考える.以下の問いに答えよ.

(1) $t$ を正の実数,$n$ を正の整数とするとき,
  [式:…]
が成り立つことを示せ.

(2) [式:…] を正の整数とする.[式:…] に対して,
  [式:…][式:…]
が成り立つことを示せ.ただし,[式:…] とする.

(3) [式:…] を3以上の整数,[式:…] を正の整数とするとき,
  [式:…]
が成り立つことを示せ.

(4) [式:…] をみたす整数の組[式:…]をすべて求めよ.

出来は非常に悪かったと記憶しています.
森 宏征 さん 2018/03/22 17:03:07 報告
3
この東北大の問題は、おそろしく古い「エレガントな解答を求む」です。
表紙にも紹介されています。36番です。
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/91AVyLBbsSL.jpg
アンドロメダ さん 2018/03/25 17:41:46 報告
4
数セミ増刊「数学の問題」第3集 日本評論社(1988)
●36
木村氏は mod 8 で考え(つまり8で割った余りだけを考えて),
 2^m ≡ 2 (m=1)
    ≡ 4 (m=2)
    ≡ 0  (m≧3)

 3^n ≡ 3  (n=奇数)
    ≡ 1  (n=偶数)
よって [式:…] となるのは(m,n)= (2,1) しかない。
(m,n)= (1,0) は不適。


(3)
m ≧ 3 > e,

[式:…]

両辺をm乗して

[式:…]
prime_132 さん 2018/03/27 08:17:18 報告
199? 学習院大大学院理学科専攻 \ 正の整数$ m,\ n$は$ 2^{m} - 3^{n} = 1$を満足するとする。 (1) 解$ (m,\ n)$の1組を示せ。 (2) $ m$が偶数であることを示せ。 (3) すべての解$ (m,\ n)$を求めよ。