凸不等式の応用-2

prime_132 さん

  • 公開日時: 2018/03/02 04:45
  • 閲覧数: 502
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  • カテゴリ: 教養・雑学

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f(x) が下に凸であるとは、a≠b、0<λ<1 に対して ${ (1-\lambda)\ f(a) +\ \lambda f(b)\ >\ f((1-\lambda) a + \lambda b) }$ が成り立つこととします。 ・ 〔補題〕 f(x) は下に凸で m = (a+b+c)/3 とする。 (i) a,b ≦ m ≦ c のとき ${ 3 f(m)\ +\ f(c)\ \ge\ 2 f(m)\ +\ 2 f((m+c)/2)\ \ge\ 2 f((a+c)/2)\ +\ 2 f((b+c)/2), }$ . (ii) a ≦ m ≦ b,c のとき ${ f(a)\ +\ 3 f(m)\ \ge\ 2 f((a+m)/2)\ + 2 f(m)\ \ge\ 2 f((a+b)/2)\ +\ 2 f((a+c)/2), }$ ・ 〔Popoviciu の不等式〕 f(x) は下に凸で m = (a+b+c)/3 とする。 ${ f(a)\ +\ f(b)\ +\ f(c)\ +\ 3 f(m)\ \ge\ 2 f((a+b)/2)\ +\ 2 f((a+c)/2)\ +\ 2 f((b+c)/2), }$ ・ 佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)p.41 演習問題1.89 ${ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/466 }$ (不等式スレ9) ${ http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/266 }$ (不等式2)