凸不等式の応用

prime_132 さん

  • 公開日時: 2018/03/01 00:57
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  • カテゴリ: 教養・雑学

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f(x) が下に凸であるとは、a≠b、0<λ<1 に対して ${ (1-\lambda)\ f(a) +\ \lambda f(b)\ >\ f((1-\lambda) a + \lambda b) }$ が成り立つこととします。 ・ 〔補題463〕 f(x) が 0≦x≦1 で下に凸ならば ${ (1)\ \ \ \frac{1}{n}\ \sum _{k=1} ^{n}\ f(\frac{k}{n+1})\ >\ \frac{1}{n-1}\ \sum _{k=1} ^{n-1}\ f(\frac{k}{n}), }$ ${ (2)\ \ \ \frac{1}{n+1}\ \sum _{k=0} ^{n}\ f(\frac{k}{n})\ >\ \frac{1}{n+2}\ \sum _{k=0} ^{n+1}\ f(\frac{k}{n+1}), }$ . 〔応用〕 ${ S(n)\ =\ \sum _{k=1} ^{n}\ k ^{r} }$ (但し r>1)について、 ${ \frac{S(n)}{S(n-1)}\ >\ (\frac{n+1}{n}) ^{r+1}\ >\ \frac{S(n+1)}{S(n)}, }$ . 大関:「不等式への招待」近代科学社(1987) p.130 例題6. には x=0 と x=1 も含む式(2)がある。 ${ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/463\ ,\ 478 }$ (不等式スレ9) ${ http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/265 }$ (不等式2)