どうしてもわからない問題

log10 さん

  • 公開日時: 2018/02/20 21:14
  • 閲覧数: 620
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 入試・教育

皆さまお久しぶりです。かれこれ何カ月ぶりかの投稿として、どれだけ考えても解決の糸口すら見いだせなかった問題を投稿させてください。

 

高校の数学科の先生から教えてもらった問題なのですが、確かその先生が「数学オリンピックの問題だ」と言われたものです。

 

Q.

[式:…]はともに整数である。等式

[式:…]

を満たすような整数[式:…]の組を全て求めよ。

 

こういう似たような整数の問題は他にも出されて、他は解けたのですが、この問題だけはどうしてもわかりませんでした。どなたかご教示くださると幸いです。泣

 

追記

問題の内容に間違いがあったので訂正しました。申し訳ございません。

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1
おじゃま虫です。

1 < 6^c より 0<c, 1≦c,
2^a + 3^b は整数だから a≧0、b≧0
6^c は偶数だから 2^a は偶数、a≧1

次に
[式:…]
もし a≧3 かつ c≧3 ならば、左辺 = 1 + 2^a + 3^b ≡ 2,4 (mod 8)、 右辺 = 6^c ≡ 0 (mod8) となり矛盾します。
したがって、a≧3 かつ c≧3 ではないことが分かります。
あとは(a, c)で場合分けします。
(xxxmusukaxxx さんの解、aerile_re さんの解)
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14121431749

答えは (a,b,c) = (1,1,1), (2,0,1), (3,3,2), (5,1,2) となります。(b=0 も含めました。)
prime_132 さん 2018/02/21 04:37:36 報告
2
2014 Japan MO

近谷 邦彦 さん 2018/02/22 17:59:34 報告
3
返信遅くなり申し訳ありません。

近谷さん
情報ありがとうございます。

prime_132さん
何故その式から a≧3 かつ c≧3 ではないとわかるのか、まだきちんと分かっていません‥‥‥。
log10 さん 2018/02/26 16:32:29 報告