2018 大阪医科大 不等式 Classics

  • 公開日時: 2018/01/30 05:03
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  • カテゴリ: 入試・教育

[1] 2018 大阪医科大

a, b, c >0 とする.

(1) 不等式 8abc≤(a+b)(b+c)(c+a) を示せ.

(2) x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c とするとき, a, b, c をそれぞれ x, y, z で表せ.

(3) 不等式 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤abc を示せ.

 

[2] 1959 東工大

a, b, c ; x, y, z はすべての正の数を表わすとき, 

次の不等式を証明せよ.

(1) (b+c)(c+a)(a+b)≥8abc

(2) xyz≥(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)

 

My Memo

If a,, b, c are the lengths of a traingle ABC, ...

1965 ? 立教大

1964 ? 京都府立医科大 

 

 

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1
For all non negative reals a, b, c, the inequality

(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤abc holds.
近谷 邦彦 さん 2018/01/30 23:48:38 報告
2
[1]-(1)、[2]-(1)
 2√ab ≦ a+b,2√bc ≦ b+c,2√ca ≦ c+a,
 辺々掛ける。

[1]-(2)
 a =(y+z)/2,b =(z+x)/2,c =(x+y)/2,
 すなわち、{x,y,z}のどの2つの和も正である。

[1]-(3)、[2]-(2)
 ・{x,y,z}に正でない数があるとき、(2)により高々1個だけ。
  このとき左辺は負になるから、不等式は明らかに成立する。
 ・{x,y,z}がすべて正のとき、(1)より
  xyz ≦(x+y)(y+z)(z+x)/8 = abc,
prime_132 さん 2018/02/04 05:06:28 報告
3
(削除)
prime_132 さん 2018/02/04 05:06:37 報告
4
Perfect !
近谷 邦彦 さん 2018/02/09 21:22:57 報告