すうじあむ

5ch - 数学板 - 面白スレ２４
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/241 , 574-576
で見ました。

とりあえず（１）だけ･･･


最も多数の点をとおる円（の１つ）をΓとする。
Γはn個の点を通るとする。
題意より　n≧4,
Γが通る点をA，B，C，… とする。
n<8 のとき、Γを通らない2点｛X，Y｝がある。

・5≦n<8 のとき
　5点｛A，B，C，X，Y｝に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
　このとき｛A，B，C｝のうちの１つが欠ける。
　∵ もし XまたはY が欠けて｛A，B，C｝が残るならその円はΓに一致し、XまたはY がΓ上に存在することになる。(矛盾）
　たとえば、4点｛A，B，X，Y｝が同一円周上に存在する、とする。
　A，B の片方を共有する｛A，C，X，Y｝や｛B，D，X，Y｝は同一円周上に存在しない。（C，D は A，B 以外の任意の点）
　∵ もし存在するなら｛A，B，C，X，Y｝や｛A，B，D，X，Y｝が同一円周上に存在するが、それらはΓに一致し、X，Y がΓ上にあることになる。(矛盾）

　次に、5点｛C，D，E，X，Y｝に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
　たとえば、4点｛C，D，X，Y｝が同一円周上に存在する、とする。

　更に、5点｛A，C，E，X，Y｝に於いて、そのうちの4点が同一円周上に存在する。
　｛A，C，E｝のうちの１つが欠けるが、上記の2円のいずれかと3点を共有するので、結局Γと一致する。（矛盾）
以上により、5≦n<8 となることはない。

・n=4 のとき
　上と同様にして、１組の｛X，Y｝について
　4点｛A，B，X，Y｝と｛C，D，X，Y｝が同一円周上にある。
　4点｛A，C，X，Y｝と｛B，D，X，Y｝が同一円周上にある。
　4点｛A，D，X，Y｝と｛B，C，X，Y｝が同一円周上にある。
の３条件のうちの1つだけが成立つ。
（∵ 異なる条件の円が共存すれば、3点を共有する2円なので一致し、結局Γと一致する。矛盾）

ところで、5点から｛X，Y｝の組合せを選ぶ方法はＣ[5，2］= 10 通りある。
上記３条件の１つは、4通り以上の組合せについて成り立つ。（←鳩ノ巣原理）
その4通りの中に｛X，Y｝の片方を共有するものがある。
たとえば、｛A，B，X，Y｝と｛A，B，Y，Z｝が同一円周上に存在するなら、
3点｛A，B，Y｝を共有するので2円は一致し、5点｛A，B，X，Y，Z｝が同一円周上に有る（n≧5）。
これは n=4 と矛盾するから、n=4 となることはない。

・まとめ
　以上により、n≧8 と結論される。