初等幾何の自作問題

  • 公開日時: 2017/10/22 13:42
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  • カテゴリ: 入試・教育

(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ.

条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.

 

 

(2)三角形ABCに於いて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qが在って,AP=CD,AQ=BDを満たしている.

 

また,三角形PBDと三角形QCD其々の外接円は2点で交わるとする.

この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上に在ることを示せ.

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1
5ch - 数学板 - 面白スレ24
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/241 , 574-576
で見ました。
prime_132 さん 2017/11/09 10:40:31 報告
2
とりあえず(1)だけ・・・


最も多数の点をとおる円(の1つ)をΓとする。
Γはn個の点を通るとする。
題意より n≧4,
Γが通る点をA,B,C,… とする。
n<8 のとき、Γを通らない2点{X,Y}がある。

・5≦n<8 のとき
 5点{A,B,C,X,Y}に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
 このとき{A,B,C}のうちの1つが欠ける。
 ∵ もし XまたはY が欠けて{A,B,C}が残るならその円はΓに一致し、XまたはY がΓ上に存在することになる。(矛盾)
 たとえば、4点{A,B,X,Y}が同一円周上に存在する、とする。
 A,B の片方を共有する{A,C,X,Y}や{B,D,X,Y}は同一円周上に存在しない。(C,D は A,B 以外の任意の点)
 ∵ もし存在するなら{A,B,C,X,Y}や{A,B,D,X,Y}が同一円周上に存在するが、それらはΓに一致し、X,Y がΓ上にあることになる。(矛盾)

 次に、5点{C,D,E,X,Y}に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
 たとえば、4点{C,D,X,Y}が同一円周上に存在する、とする。

 更に、5点{A,C,E,X,Y}に於いて、そのうちの4点が同一円周上に存在する。
 {A,C,E}のうちの1つが欠けるが、上記の2円のいずれかと3点を共有するので、結局Γと一致する。(矛盾)
以上により、5≦n<8 となることはない。

・n=4 のとき
 上と同様にして、1組の{X,Y}について
 4点{A,B,X,Y}と{C,D,X,Y}が同一円周上にある。
 4点{A,C,X,Y}と{B,D,X,Y}が同一円周上にある。
 4点{A,D,X,Y}と{B,C,X,Y}が同一円周上にある。
の3条件のうちの1つだけが成立つ。
(∵ 異なる条件の円が共存すれば、3点を共有する2円なので一致し、結局Γと一致する。矛盾)

ところで、5点から{X,Y}の組合せを選ぶ方法はC[5,2]= 10 通りある。
上記3条件の1つは、4通り以上の組合せについて成り立つ。(←鳩ノ巣原理)
その4通りの中に{X,Y}の片方を共有するものがある。
たとえば、{A,B,X,Y}と{A,B,Y,Z}が同一円周上に存在するなら、
3点{A,B,Y}を共有するので2円は一致し、5点{A,B,X,Y,Z}が同一円周上に有る(n≧5)。
これは n=4 と矛盾するから、n=4 となることはない。

・まとめ
 以上により、n≧8 と結論される。
prime_132 さん 2017/11/27 21:01:23 報告