一般フィボナッチ数列とパスカルの三角形

  • 公開日時: 2017/10/11 15:56
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  • カテゴリ: 研究・考察

「一般フィボナッチ数列について」という投稿と「一般フィボナッチ数列について。その2」を読んでからお読みください。

パスカルの三角形を少し拡張して見てみるとフィボナッチ数列とリュカ数列に原点があることがよく分かります。

まず、フィボナッチ数列と普通のパスカルの三角形の場合。

頂点の上も書いたパスカルの三角形を考えます

 

 

10 6 -3 1 0 0 0 0 

5 -4 3 -2 1 0 0  0 0 0

-1 1 -1 1 -1 1  0 0 0 0 0

0  1 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 2 1 0 0

0 0 1 3 3 1 0 0

0 0 1 4 6 4 1 0 0

0 0 1 5 10 10 5 1 0 0

太字にした0を通る直線を想像して下さい。

この直線が通る数の総和を原点(f(0)=0)として、下に一つ分移動した直線が通る数の総和はf(1)に、下にnつ分移動した直線が通る数の総和はf(n)に、上に一つ分移動した直線が通る数の総和はf(-1)に、上にnつ分移動した直線が通る数の総和はf(-n)になります。

 

パスカルの三角形に現れるすべての数の絶対値をとった図は、この直線で線対称な図になっています。原点のあるフィボナッチ型数列のみこのようになっていることは明らかです。

 

リュカ数列に対応するパスカルの三角形は、頂点が

1 2

となっている三角形です。このパスカルの三角形も、線対称な図になります。

 

原点のある一般フィボナッチ数列も、このように線対称なパスカルの三角形を書くことができます。ただし、f(n)+af(n+1)=f(n+2)を満たす原点のある一般フィボナッチ数列を考えるときは、パスカルの三角形では右上から左下に数を下すときはa倍し、左上からはそのまま(1倍で)下す、というようにしなければうまくいきません。

すうじあむのなかでは図をなかなか上手く書けないので書きませんが、とにかく原点のある一般フィボナッチ数列には線対称になっているパスカルの三角形を対応させることができます。

 

原点のある一般トリボナッチ数列でも線対称なパスカルの三角形を書けることにも気づいたのですが、長くなってしまったのでこの話は次回にしたいと思います。

 

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