行列・連立方程式・一般フィボナッチ数列

  • 公開日時: 2017/10/07 15:17
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  • カテゴリ: 研究・考察

行列を通して連立方程式と一般フィボナッチ数列を繋げることができました。

[式:…][式:…]=[式:…]

とするとき、

ax+by=j

cx+dy=k

となっているので、ベクトルに左から行列を掛ける操作は連立方程式に還元できます。

しばらくはずっとmodpで考えることにします。

ベクトル[式:…]に左から行列[式:…]をm回掛けて初めて元のベクトル[式:…]に戻るとき、mを[式:…][式:…]に関する位数と呼ぶことにします。

 

ax+by=j(1)

cx+dy=k(1)とするとき、x=j(2),y=k(2)とし、

一般に、

ax+by=j(n)

cx+dy=k(n)とするとき、x=j(n+1),y=k(n+1)とし、更にg(n)=[式:…]とするとき、

g(n)=g(n+m)になっている。つまり、g(n)の位数はmである。

 

mは(-1)/(ad-bc)×f(n)+(a+d)/(ad-bc)f(n+1)=f(n+2)となっている一般フィボナッチ数列の周期のどれかと一致することに気付きました。何故気付いたかというと、「行列とmod」にも書きましたが(bc-ad)E+(a+d)M=M^2(Eは単位行列。Mは[式:…])となっていることと、M^(-1)×g(n)=g(n+1)となっていることからです。

つまり、連立方程式と一般フィボナッチ数列の周期に繋がりがあることが分かりました。

 

これからはmodpではなく、普通の整数の世界で考えます。

f(1)=j(1),f(2)=j(2)とするとき、f(n)=j(n)に、

f(1)=k(1),f(2)=k(2)とするとき、f(n)=k(n)になっている。

 

何か間違っているところがあればすみません。

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