一般フィボナッチ数列について。その2

  • 公開日時: 2017/10/05 16:29
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  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 研究・考察

「一般フィボナッチ数列について」という投稿で書いた内容を一般化できたので投稿します。

 

f(n)+af(n+1)=f(n+2)という式を満たすf(n)を考えるとき、

原点(原点の定義は「一般フィボナッチ数列について」を参照してください)のあるf(n)は

……1+a^2,-a,1,0,1,a,1+a^2,……というf(n)(これをg(n)とする)及びそれの定数倍と

……-a^3-3a,a^2+2,-a,2,a,a^2+2,a^3+3a……というf(n)(これをh(n)とする)及びその定数倍のみである

と予想しました

ちなみに、bf(n)+af(n+1)=f(n+2)という式を満たすf(n)で原点のあるものは、b=1のときのみのようです。

 

また、f(n)+af(n+1)=f(n+2)という式を満たすf(n)を考えるとき

f(n)-f(n),f(n+1)+f(n-1),f(n+2)-f(n-2),f(n+3)+f(n-3),……という数列は、f(n+m)=h(m)でない限りg(n)を定数倍した数列になり、

f(n)+f(n),f(n+1)-f(n-1),f(n+2)+f(n-2),f(n+3)-f(n-3),……という数列は、f(n+m)=g(m)でない限りh(n)を定数倍した数列になるようです。

 

g(n),h(n)になにか面白い性質があったらいいなぁと思っているので、また何か分かれば追記します。

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最新10件表示

No メッセージ 投稿者 日時    
1
性質見つけました。証明できていませんが、

g(0)=0とするとき
g(n-1)g(n+1)-g(n)^2=(-1)^n

h(0)=2とするとき
h(n)^2-h(n-1)h(n+1)=(a^2+4)×(-1)^n
になっているようです
水宮うみ さん 2017/10/05 17:00:19 報告
2
おじゃま虫です。

特性方程式
[式:…]
の根を
[式:…]
[式:…]
とおく。(a=1 なら c=φ)
一般項は
[式:…]
[式:…]

となります。(いわゆるBinetの公式)
g(n)がFibonacci,h(n)がLucas でしょうか。
これを使えば >>1 や
和積公式
[式:…]
[式:…]
双曲線公式
[式:…]

は容易に出ます。また、 a = 2sinh(α) とおくと

・nが偶数のとき
[式:…]
[式:…]

・nが奇数のとき
[式:…]
[式:…]

と表わせます。
prime_132 さん 2017/10/09 04:05:00 報告
3
prime_132 さん、ありがとうございます
水宮うみ さん 2017/10/09 09:24:01 報告