すうじあむ

「一般フィボナッチ数列について」という投稿で書いた内容を一般化できたので投稿します。

f(n)+af(n+1)=f(n+2)という式を満たすf(n)を考えるとき、

原点(原点の定義は「一般フィボナッチ数列について」を参照してください)のあるf(n)は

……1+a^2,-a,1,0,1,a,1+a^2,……というf(n)(これをg(n)とする)及びそれの定数倍と

……-a^3-3a,a^2+2,-a,2,a,a^2+2,a^3+3a……というf(n)(これをh(n)とする)及びその定数倍のみである

と予想しました

ちなみに、bf(n)+af(n+1)=f(n+2)という式を満たすf(n)で原点のあるものは、b=1のときのみのようです。

また、f(n)+af(n+1)=f(n+2)という式を満たすf(n)を考えるとき

f(n)-f(n),f(n+1)+f(n-1),f(n+2)-f(n-2),f(n+3)+f(n-3),……という数列は、f(n+m)=h(m)でない限りg(n)を定数倍した数列になり、

f(n)+f(n),f(n+1)-f(n-1),f(n+2)+f(n-2),f(n+3)-f(n-3),……という数列は、f(n+m)=g(m)でない限りh(n)を定数倍した数列になるようです。

g(n),h(n)になにか面白い性質があったらいいなぁと思っているので、また何か分かれば追記します。