行列の環

  • 公開日時: 2017/09/29 16:12
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  • カテゴリ: 研究・考察

pを素数とする。これから先ずっとmodpで考えることにし、行列は二次正方行列のみを考えることにする

位数がp^2-1の行列のひとつをAとするとき

零行列OとA,A^2,A^3,……,A^(p^2-1)で構成された集合は環をなすと予想しました

 

例をあげると、mod3でA=[式:…]とすると

 

O=[式:…]

A^8(単位行列)=[式:…]

A=[式:…]

A^2=[式:…]

A^3=[式:…]

A^4=[式:…]

A^5=[式:…]

A^6=[式:…]

A^7=[式:…]

となります。

掛け算については明らかに閉じていて、

足し算引き算についても(何故か僕にはまだ分かっていないのですが)閉じています

(例えばA+A^2=A^8というように)

 

一般のn次正方行列でも、位数がp^n-1の行列A及びそのべき乗と零行列で環になっていたらおもしろいなぁと思いました。

 

また、少し違う話ですが、

位数p^2-1の行列と位数pの行列と位数p-1の行列を生成元とすることで、位数のある、つまりべき乗すると単位行列に戻ることのある行列がすべて出るのではないかとも予想しました。ただし、右から掛けるか左から掛けるか、それぞれの生成元の行列ごとに考えなければならないようです。

実際に、単位行列に戻る行列の個数はp(p-1)(p^2-1)個あり、この予想と矛盾はしていませんでした。

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