行列とmod

  • 公開日時: 2017/09/22 14:36
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  • カテゴリ: 研究・考察

pを素数とし、この投稿では常にmodpで考えることにする。また、投稿内の小文字は全て整数とします

 

[式:…]=M

とおく


M^n =[式:…]=Eを満たす最小の自然数nを考えるとき、nをmodpにおけるMの位数と呼び、modpでのMの位数はnである、と言うことにする

 

nの値はどうやら(bc-ad)f(n)+(a+d)f(n+1)=f(n+2)というフィボナッチ型数列の周期の長さのいずれかと一致するようです。ただし、nの存在しないような、位数の存在しないようなM(具体的にはbc-ad=0となっているようなM)もあり、そのようなMは除きます(厳密には証明できていませんが、(bc-ad)E+(a+d)M=M^2となっていることが根拠です)

 

また、ベクトル[式:…]に左からMを掛け続ける操作をすると、n回目で元のベクトル[式:…]に戻るようです。(これも証明はできていません。すみません)

 

また、Mの位数がnで、njkと書けるとき、(ただしj,kは自然数とする)

M^jの位数がkとなることから、nの約数の位数の行列が必ず存在することが分かります。

また、そのことと、ある行列にその行列自身を掛け続けていくことにフィボナッチ型数列を対応させられることから、あるフィボナッチ型数列の周期の長さがoのとき、oの約数の周期になっているフィボナッチ型数列が必ず存在することが分かります

 

 

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