円分多項式の漸化式

  • 公開日時: 2017/09/17 10:13
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  • カテゴリ: 研究・考察

pを素数、mをpと互いに素な自然数とする

pを法とするとき、m番目の円分多項式の漸化式でできるループの長さは、自明な0が並び続けるループを除き、全てmになることに気付きました。

 

例えば3番目の円分多項式はx^2+x+1で、漸化式はf(n+2)+f(n+1)+f(n)=0で、

mod5で3番目の円分多項式の漸化式のループを見てみると

0,1,4,0,1,4…

0,2,3,0,2,3…

0,3,2,0,3,2…

0,4,1,0,4,1…

1,1,3,1,1,3…

1,2,2,1,2,2…

3,3,1,3,3,1…

4,4,2,4,4,2…

となり、すべて長さが3になっていることが分かります。

 

 

証明は、自信はないのですが、

m番目の円分多項式の解はm乗して初めて1になる数だけで構成されていることと、

円分多項式の漸化式は円分多項式の解を線型結合したものとして表せることより(例えば円分多項式の解をα,βとするときf(n)=aα^n+bβ^n(a,bは定数)と表せるということ)、

漸化式はmodではmを周期に巡回することが分かる。

というような感じです

 

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