フェルマーの小定理のn次方程式への拡張

  • 公開日時: 2017/09/13 15:57
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  • カテゴリ: 研究・考察

pを素数とする

modpでの既約n次多項式が左辺、0が右辺になっている方程式の解は、modp(p^n-1)乗すると必ず1になると予想しました。

n=1のときはフェルマーの小定理になっています

この予想の根拠は、

modpの一般フィボナッチのループの長さの求め方」で書いたことを一般化して

a[0]+a[1]×x+……+a[m]×x^m=x^(m+1)の解をk[1],k[2],……,k[m+1]とし、

a[0]×f(n)+a[1]×f(n+1)+……+a[m]×f(n+m)=x^(m+1)×f(n+m+1)とするとき、f(n)f(n)= k[1]^n×j[1]+k[2]^n×j[2]+……+ k[m+1]^n×j[m+1]と表すことができることからです(jは定数)

このことと、超一般フィボナッチ数列のループの長さを比べると、n次方程式の解はmodpp^n-1より小さい数べき乗することで1に戻ることが分かります。

そのことをもう少し強く言ったものがこの予想です

 

また、modp(p^n-1)乗して初めて1になる数を原始根として、時計のように円を描いたら、等間隔にある数同士を足したら0になるとも予想しました。この予想はa^(p^n-1)-1=0(modp)を展開することで簡単に証明できました。

 

 

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