modpの一般フィボナッチのループの長さの求め方

  • 公開日時: 2017/09/12 15:37
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  • カテゴリ: 研究・考察

a+bx=x^2のxについての解がj,kのとき、

af(n)+bf(n+1)=f(n+2)とするときのf(n)f(n)=j^n×f+k^n×gと表すことができることを知りました

このことを前提としてこれから考えたいと思います


j,kが無理数のときも含め、j,kの位数によってループの長さ及び種類は決まることが、このことから言えます

j,kmodpで整数の形で表せるとき、f(n)=j^n×f+k^n×g(mod p)は明らかに(p-1)を周期として同じ数の並びを繰り返す

実際は(p-1)の約数を周期とする場合もあるが、とにかくj,kmodpで整数の形で表せる、つまりx^2-bx-a=0modpで有理数解を持つとき、ループの長さは(p-1)の約数になることが分かりました

j,kが無理数のときも、j,kの位数を調べることでループの長さが分かります

二次方程式の解はmodpで必ずc+de(c,d,eは整数)の形で表すことができる

「素数を法とするときの√」で書いたように、c+de(p^2-1)乗すると必ず1になる。つまりc+deの位数が(p^2-1)の約数であると僕は予想しています

この予想が真なら、af(n)+bf(n+1)=f(n+2)modpで無理数解を持つとき、ループの長さが(p^2-1)の約数になることが分かります

 

(p^2-1)乗して初めて1になるようなc+deの条件はなんだろう、と考えています

 

なにか分かる方いたら教えて下さい

 

 

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