冪時計

  • 公開日時: 2017/09/10 13:27
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  • カテゴリ: 研究・考察

冪時計とはべき算の時計である

 

時計の説明に入る前にmodという用語の説明をする

modNとは、Nで割った余りが同じものを、同じものとして扱うということである

例えばmod12のとき、1=13=25=37(mod12)である

これからこの投稿ではmodNにおいては0以上N未満の数を代表して数を扱うことにする

 

まず足し算の時計から説明しよう

 

足し算の時計とは、普通の時計のことだと思ってくれて構わない

mod12のときの足し算の時計は

 

0

11    1

10        2

9              3

8         4

7      5

6

 

このようなものである。時計回りに1を足していって、0から11までのすべての数が表れている

また、反時計回りに11を足していってできる時計でもある。

更に、時計回りに5、反時計回りに7を足していっても、0から11までのすべての数が表れる時計を作ることができる

 

このような時計だ

0

7    5

2        10

9               3

4           8

11      1

6

 

このように、modNにおいて足していくことですべての数が表れる数をmodNの足し算の生成元と呼ぶことにする

mod12の足し算の生成元は1,5,7,11である

 

 

次は、掛け算の時計を見ていこう

掛け算の時計は足し算の生成元を要素として作られる

つまり、mod12の掛け算の時計の要素は1,5,7,11である

 

mod12の掛け算の時計は

 

 

7

1

5

11

 

 

 

という形になる。■を中心として5を掛けると180度回転し、それぞれの〇を中心として7を掛けると180度回転する。ドーナツの形を思い浮かべて貰えると、分かりやすいかもしれない

 

このように、12のような合成数を法とする(法とはmodのこと)ときは一つの数を掛けていって全ての要素が表れないことが多いのだが、素数を法とするときは掛けていくことですべての要素が表れる数が存在することは証明されている。この数のことを掛け算の生成元と呼ぶことにする

 

例えば、mod11の掛け算の時計は

mod11の足し算の時計の生成元は1,2,3,4,5,6,7,8,9,10なので、これがmod11の掛け算の時計の要素で、実際の時計は

1

6     2

3          4

7    11    8

9       5

10

 

というようになり、mod11の掛け算の時計の生成元は2,6,7,8であることが分かる

 

それではべき算の時計にとりかかろう。べき算の時計は掛け算の生成元を要素として作られる。

 

mod11で見ていくことにする

mod11の掛け算の時計の時計の生成元は2,6,7,8なので、これがmod11のべき算の時計の要素である。

べき算の時計は

 

 

2

8   11   7

6

 

 

というようなものになる。7乗すると時計回りに一個移動し、3乗すると反時計回りに一個移動する

 

 

べき算の時計で向かい合っている二つの数は、和が0になっているか積が±1になっているのではないか、と予想しています

また冪時計で思いついたことあれば追記していきます

 

ちなみに、素数pの掛け算の時計は(p-1)の足し算の時計と同じ形になり、pのべき算の時計は(p-1)の掛け算の時計と同じ形になります

 

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