商と余りの反転

  • 公開日時: 2017/09/08 12:50
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  • カテゴリ: 研究・考察

pを素数、x,y2以上p未満の自然数とし、

x,ymod pで逆数の関係、つまりxy=1(mod p)になっているとする

 

ほとんどのx,y((xy-1)/p(p-1)の奇数の約数になっていないx,y)において、

pxで割った商がa、余りがbとすると、pyで割った商がbに、余りがaになっていると予想しました。

このような商と余りの関係になっていることを、p÷xp÷yは鏡映しになっている、と呼ぶことにします(僕が勝手に名付けただけです)

 

(xy-1)/p(p-1)の奇数の約数になっているx,yでは、(xy-1)/p(p-1)の最大公約数をqとするとき、pq÷xpq÷yが鏡映しになっているようです

 

例をあげると、

p=11とするとき、

26345978はそれぞれ逆数の関係になっていて、

11÷2=51         11÷6=15

11÷3=32         11÷4=23

11÷5=21         11÷9=12

 

11÷7=14         11÷8=13

と、78のとき以外は鏡映しになっています

78の積をとって1引くと55。更に11(=p)で割ると5になって、これは10(=p-1)の奇数の約数の5になっているので、78は鏡映しになっていません

しかしその代わりに、面白いことに

11÷7=1…4           22÷7=3…1          33÷7=4…5          44÷7=6…2          55÷7=7…6

11÷8=1…3           22÷8=2…6          33÷8=4…1          44÷8=5…4          55÷8=6…7

と、55÷755÷8が鏡映しになっていて、更に、11÷733÷822÷711÷833÷744÷844÷722÷8がそれぞれ鏡映しになっています

 

また、xy=1(mod p)で、x,yp/2以上p未満の異なる自然数のとき、pxで割った商もpyで割った商も1になることから、p÷xp÷yは鏡映しになりません。

このことから、上記の予想が真なら、xy=1(mod p)で、x,yp/2以上p未満の異なる自然数のとき、xy-1(p-1)の奇数の約数に必ずなっていることになります。

 

今後間違っているところあれば訂正していきます。

証明など分かる方いたら教えて下さい。

 

 さっそく間違っている箇所を見つけました。(xy-1)/p(p-1)の奇数の約数になっていないx,yでも、p=11のときの7,8と同じようになっていることがあるようです。すみません

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