皆の投稿 - 複素平面と数球面の問題 - 数学博物館すうじあむ

複素平面と数球面の問題

公開日時: 2017/09/07 06:51

コメント数: 3

カテゴリ: 入試・教育

入試問題？

問　座標空間に原点を中心とする半径1の球面Sをつくる。空間座標を（x,y,z)とし

　　ｘｙ平面を複素平面とする。

　　　点N(0,0,1)から球面S上の異なる２点P(x,Y,Z) ,P'(X',Y',Z') (ただし, 0＜Z＜1,0＜Z'＜1) へ

それぞれ直線 $[式：…]$ , $[式：…]$ を引き,直線 $[式：…]$ , $[式：…]$ とｘｙ平面との交点をQ,Q'とする。

(1) NPの長さとNQの長さの積　、NP・NQ　の値を求めよ。

(2) △NPP'∽△NQ'Qを示せ。

(3)2点Q,Q'を表す複素数をそれぞれα,α’とするとき

　　PP'の長さをα,α’を用いて表せ。

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No	メッセージ	投稿者	日時
1	計算した結果 (1)2 (2)(1)を利用 (3) $[式：…]$	クロニャンコさん	2017/09/13 20:33:47	報告
2	(1) $[式：…]$ $[式：…]$ $[式：…]$ $[式：…]$ 　（←　方ベキの定理） $[式：…]$ 　　（←　三平方の定理） $[式：…]$ 　　(←　NO=r) ここに　r=1，O = (0,0,0) とおいた。 (2) 3点N,Q,Q’で決まる平面上で考える。PはNQ上の点、P'はNQ'上の点。 ∠PNP’ = ∠QNQ’ NP = 2/NQ = k・NQ' NP' = 2/NQ' = k・NQ ここに k は相似比　k = 2/(NQ・NQ') (3) PP’ = k･QQ' = 2･d(α，α’) d(α,α'）をαとα'の球面距離というらしい。これについては、辻正次：「複素関数論」槇書店（1969）を参照。 ONを直径（=1）とする球面で考える方法もありますね。	prime_132 さん	2017/09/23 00:57:20	報告
3	prime 132さん解答を示してくださりありがとうございます。 (2)から質問されましたので,(1)を付け加えました。 (3)(2)を使わないで直接求めると計算が大変でした。 (3)は、きれいな式なので,有名な問題なのでしょうね？	クロニャンコさん	2017/09/24 11:21:37	報告

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計算した結果
(1)2
(2)(1)を利用
(3) $[式：…]$

クロニャンコさん

2017/09/13 20:33:47

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(1)
$[式：…]$
$[式：…]$
$[式：…]$
$[式：…]$ 　（←　方ベキの定理）
$[式：…]$ 　　（←　三平方の定理）
$[式：…]$ 　　(←　NO=r)
ここに　r=1，O = (0,0,0) とおいた。

(2)
3点N,Q,Q’で決まる平面上で考える。PはNQ上の点、P'はNQ'上の点。
∠PNP’ = ∠QNQ’
NP = 2/NQ = k・NQ'
NP' = 2/NQ' = k・NQ
ここに k は相似比　k = 2/(NQ・NQ')

(3)
PP’ = k･QQ' = 2･d(α，α’)

d(α,α'）をαとα'の球面距離というらしい。これについては、
辻正次：「複素関数論」槇書店（1969）を参照。

ONを直径（=1）とする球面で考える方法もありますね。

prime_132 さん

2017/09/23 00:57:20

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prime 132さん
解答を示してくださりありがとうございます。

(2)から質問されましたので,(1)を付け加えました。
(3)(2)を使わないで直接求めると計算が大変でした。
(3)は、きれいな式なので,有名な問題なのでしょうね？

クロニャンコさん

2017/09/24 11:21:37

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