複素平面と数球面の問題

  • 公開日時: 2017/09/07 06:51
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  • カテゴリ: 入試・教育

入試問題?

問 座標空間に原点を中心とする半径1の球面Sをつくる。空間座標を(x,y,z)とし

  xy平面を複素平面とする。

   点N(0,0,1)から球面S上の異なる2点P(x,Y,Z) ,P'(X',Y',Z') (ただし, 0<Z<1,0<Z'<1) へ

      それぞれ直線[式:…],[式:…]を引き,直線[式:…],[式:…]とxy平面との交点をQ,Q'とする。

 (1) NPの長さとNQの長さの積 、NP・NQ の値を求めよ。

 (2) △NPP'∽△NQ'Qを示せ。

 (3)2点Q,Q'を表す複素数をそれぞれα,α’とするとき

  PP'の長さをα,α’を用いて表せ。

 

   

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1
計算した結果
(1)2
(2)(1)を利用
(3)[式:…]
クロニャンコ さん 2017/09/13 20:33:47 報告
2
(1)
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…] (← 方ベキの定理)
[式:…]  (← 三平方の定理)
[式:…]  (← NO=r)
ここに r=1,O = (0,0,0) とおいた。

(2)
3点N,Q,Q’で決まる平面上で考える。PはNQ上の点、P'はNQ'上の点。
∠PNP’ = ∠QNQ’
NP = 2/NQ = k・NQ'
NP' = 2/NQ' = k・NQ
ここに k は相似比 k = 2/(NQ・NQ')

(3)
PP’ = k・QQ' = 2・d(α,α’)

d(α,α')をαとα'の 球面距離 というらしい。これについては、
辻 正次:「複素関数論」槇書店(1969)を参照。

ONを直径(=1)とする球面で考える方法もありますね。
prime_132 さん 2017/09/23 00:57:20 報告
3
prime 132さん
解答を示してくださりありがとうございます。

(2)から質問されましたので,(1)を付け加えました。
(3)(2)を使わないで直接求めると計算が大変でした。
(3)は、きれいな式なので,有名な問題なのでしょうね?


クロニャンコ さん 2017/09/24 11:21:37 報告