超一般フィボナッチ

  • 公開日時: 2017/09/05 12:46
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

pを素数、a[m](m0以上k以下の整数(kは自然数))pと互いに素な整数とします

modpの超一般フィボナッチ数列f(n)

a[0]×f(n)+ a[1]×f(n+1)+……+ a[k]×f(n+k)=f(n+k+1)  (mod p)

と定義する(初期値f(0)f(k)は任意の整数とします)

 

あるa[0]a[k]をとったとき、f(0)f(k)をうまくとるとf(0),f(1),f(2),……をpを法とする整数の乗法群にすることができるとき(1が連続するだけのものも乗法群として考える)、超一般フィボナッチ数列の周期の長さの種類は2種類以上になり、

逆に乗法群になるようなf(0),f(1),f(2),……が存在しないとき、超一般フィボナッチ数列の周期の長さの種類は(自明な0が連続するだけの数列を除き)1種類になる

 

少し詳しく書くと、乗法群が1が連続するものだけのときは、周期の長さ1のものがp個できて、あとはすべて周期の長さが同じみたいです

 

あと、周期の長さの種類が2種類以上でも、すべての周期の長さは一番長い周期の長さの約数になっているのではないか、とも予想しています

 

ちなみに、a[0]+a[1]+a[2]+……+a[k]-1≠0(mod p)のとき、周期の中の数の総和はmodpで0になっています。

証明は「mod nの一般フィボナッチ数列の、ループのなかの数の和が0であることの証明」という投稿で書いたやり方でできます

 

と予想しました。なにか思うところある方、証明反例分かる方はコメントお願いします。正しく使えていない用語があればすみません。分かりにくい用語あれば気軽に聞いてください。

 

 

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