積分の素朴な性質

  • 公開日時: 2017/12/28 09:35
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  • カテゴリ: 入試・教育

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(1)
[式:…]

[式:…]
とおく。
中間値の定理より
 F(0,c)= F(c,1)= 1/2,
 G(0,d)= G(d,1)= 1/2,
となる 0<c<1 と 0<d<1 がある。

さらに中間値の定理を使うと
(a,b)=(0,c)から(c,1)に至るある曲線C上で F(a,b)= 1/2,
(a,b)=(0,d)から(d,1)に至るある曲線D上で G(a,b)= 1/2,
となることが分かる。

……ト云いつつ(a,b)平面の図を書き始める。暫くして書き終えて、

曲線CとDは、
 0 ≦ a ≦ min(c,d)
 max(c,d) ≦ b ≦ 1
の枠内の或る点(a,b)で交わる。

      ∧_∧
     ( ´Д` )  新年あけまして
     /     ヽ
     し、__X__,ノJ

      /´⌒⌒ヽ
    l⌒    ⌒l  おめでとうございます
   ⊂ (   ) ⊃
      V ̄V
prime_132 さん 2018/01/14 21:34:42 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.7in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \begin{document} なかなかいい感じに素朴な問題を見つけたので紹介します。\\ \noindent (1) $0 \le x \le 1$ で連続な(or 積分可能な)関数 $f(x)$ と $g(x)$ が \[ \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 g(x) \, dx = 1 \] をみたしているならば,ある実数 $a,b \, (0 \le a \le b \le1)$ が存在して \[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b g(x) \, dx = \frac{1}{2} \] が成り立つことを示して下さい.\\ (2) 実生活において(1)を実感することはありますか? \\ (センター試験も記述!) \end{document}