位数nにおけるすべての逆数の和の積

  • 公開日時: 2017/09/01 17:17
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  • カテゴリ: 研究・考察

modpですべての位数がnの数の逆数の和の積をとると、n4の倍数でないときはどうやら1-1のどちらかになりそうだ。ということを発見しました

 

例えば、mod11で位数10の数の逆数の和の積をとるというのは

mod11で位数10の数は2,6,7,84つで、

2678が逆数の関係になっているので、逆数の和は2+6=8,7+8=4

積をとって、8×4=32=10=-1

という計算です

つまりmod11で位数10の数の逆数の和の積は-1になります

 

 

 

試しに、位数nの数の一つをaとして、小さいnを計算してみます。当然a^n=1です

すべての位数がnの数の逆数の和の積をf(n)と書くことにします

f(3)=a+1/a=-1

f(4)a+1/a=0

f(5)=(a+1/a)(a^2+1/a^2)=(a^2+1)(a^4+1)/a^3=(a^6+a^4+a^2+1)/a^3=(a^4+a^2+a+1)/a^3

=(-a^3)/a^3 (なぜならa^4+a^3+a^2+a+1=0、つまりa^4+a^2+a+1=-a^3なので)

=-1

以下、途中式は省略して

f(6)=1

f(7)=1

f(8) =-2

f(9)=-1

f(10) =-1

f(11)=-1

f(12)=-3

となっています。

 

証明は考え中です

 

ちなみに、これを単位円と対応させることができます

φ(n)n未満のnと互いに素な自然数の個数とし、g(1),g(2),g(3),……g(φ(n)/2)n/2未満のnと互いに素な自然数たちとすると

f(n)=2^(φ(n)/2)×(cos(g(1)×2π/n)×cos(g(2)×2π/n)×……×cos(g(φ(n)/2)×2π/n))

となっている。このことから証明できるのかもしれません。

 

 

証明できる方、なにか分かった方いたら是非教えて下さい。

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