時計ドーナツ

  • 公開日時: 2017/08/28 12:10
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  • カテゴリ: 研究・考察

時計をドーナツ状にすることができることに気付いたので投稿します。

 

時計ドーナツを見てみる前に、まずは普通の時計を見てみます。

 

12

11   1

10      2

9           3

8       4

7    5

6

 

このようなものですね。

ちなみに、12の隣に7,5を置いて、mod12+7,+5していってもすべての12以下の数が表れます

 

12

7   5

2      10

9           3

4       8

11    1

6

 

 

さて、時計ドーナツについて説明していきます。

 

mod12では、+1.+5.+7.+11のいずれかを繰り返すとすべての数が表れました

では、二種類の数を足していってすべての数が表れることはあるのでしょうか?

 

法とする数が2種類以上の素因数を持つ場合は存在します

122種類の素因数を持つので、12を法とするときを例にして見ていきます。

 

+3+4で、すべての数が表れます。

 

0            3            6            9

4            7            10          1

8            11          2            5

 

↑の表から明らかです。右に一つ進むのが+3で下に一つ進むのが+4です

 

これをドーナツ状に書くことができ、僕はこれを時計ドーナツと名付けました。

 

(0,4,8)

(9,1,5)    (3,7,11)

(6,10,2)

 

このような形です。(0,4,8)は、

 

0

8  4

 

このように、円(正三角形)になっていて、全体としてドーナツのようになっているので時計ドーナツと名付けました。

 

足していくことですべての数が表れるような2種類の数を見つけるのは簡単で、法とするかずをpq(p,qは互いに素)とするとき、qと互いに素なpの倍数の数,pと互いに素なqの倍数の数が、足していくことですべての数が表れるような2種類の数です

 

 

素因数の種類が2つ以上の数を法とするとき、2つの数を足していってできる時計ドーナツが、素因数の種類が3つ以上の数を法とするとき、3つの数を足していってできる時計ドーナツが(四次元になる)、素因数の種類がn個以上の数を法とするとき、n個の数を足していってできる時計ドーナツ(n+1次元になる)ができます

 

素因数の種類がn個以上の数を法とするとき、時計ドーナツを作れるようなn個の数の見つけ方を書きます

素因数の種類がn個以上の数をNとし、Nの素因数のうち任意のn個をそれぞれp(1),p(2),……,p(n)とする。

Np(1)を素因数にq(1)個、Np(2)を素因数にq(2),……, Np(n)を素因数にq(n)個持っているとする。

n個の数は、p(1)と互いに素でN/(p(1)^q(1))の倍数の数、p(2)と互いに素でN/(p(2)^q(2))の倍数の数,……p(n)と互いに素でN/(p(n)^q(n))の倍数の数である

 

 

 

mod122つの数を足していってできる時計ドーナツの話に戻ります

+3+4で、すべての数が表れるように、+3+8,+9+4,+9+8でもすべての数が表れます。

このことをまとめて、(3or9)and(4or8)と書くことにします。

面白いことに、足していく2つの数の和をとると、0に足していくことですべての数が表れるような数がすべて表れます。mod12の場合のそのような数は、初めに書いたように1,5,7,11です。

実際に計算してみると、3+4=7,3+8=11,9+4=1,9+8=5となり、1,5,7,11がすべて表れることが分かります

 

一般に、足していくことですべての数が表れるn種類の数の場合も、和をとると、0に足していくことですべての数が表れるような数がすべて表れます。また、m個だけ数を残し、その他の数の和をとると足していくことですべての数が表れるすべてのm+1種類の数が表れます。

 

例を挙げると、

mod30のとき、1個だけ数を残し、その他の2つの数の和をとると足していくことですべての数が表れるすべての2種類の数が表れることを見ていこうと思います。

足していくことですべての数が表れるような3種類の数は

15and(10or20)and(6or12or18or24)

であり

15and(10or20)の部分の和をとると25or5、つまり(5or25)and(6or12or18or24)となり、

15and(6or12or18or24)の部分の和をとると21or27or3or9、つまり(3or9 or 21or27)and(10or20)となり、

(10or20)and(6or12or18or24)の部分の和をとると16or22or28or4or26or2or8or14、つまり15and(2or 4or 8or14 or 16or22 or 26or28)となり、

すべての足していくことですべての数が表れる2種類の数が表れました。

 

 

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