階差を繰り返すと表れるループ

  • 公開日時: 2017/08/05 16:03
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

ある数を法とし、任意の個数の数を繰り返す数列を考え、その数列の階差を求め続けると、ループが表れることに気付きました。

 

 

 

例えば、mod100,1,0,1……というループの階差を求めていくと

 

1段階目の階差 1,9,1,9,……

 

2段階目の階差 8,2,8,2,……

 

3段階目の階差 4,6,4,6,……

 

4段階目の階差 2,8,2,8,……

 

5段階目の階差 6,4,6,4,……

 

 

 

となり、0,1,0,1……というループの階差を求めていくと、2,8,2,8……という数列と4,6,4,6,……という数列が交互に表れるようになることが分かりました。

 

 

 

これからループのことについて考察していきます

 

 

 

A,B,C,A,B,C,…というような数列を、[A,B,C]というように書くことにし、[A,B,C]の階差数列が[D,E,F]になるということを、[A,B,C][D,E,F]と書くことにする。

 

 

 

mod10では[2,8],[8,2],[4,6],[6,4]が出たら終了

 

mod10

 

[0,2][2,8]

 

[0,3][3,7][4,6]

 

[0,4][4,6]

 

[0,5][5][0]

 

 

 

他の初期条件も上にあげた場合と同一視できるので、mod10のときループは一通りであることが分かります。

 

 

 

mod5

 

[0,1][1,4][3,2][4,1]

 

[0,2][2,3]

 

 

 

mod7

 

[0,1][1,6][5,2][4,3][6,1]

 

[1,6][5,2][4,3][1,6]というループが表れた!

 

[0,2][2,5]

 

[0,3][3,4]

 

すべて[1,6][5,2][4,3][6,1]というループに収束することが分かる

 

 

 

 

 

mod11

 

[0,1][1,10][9,2][4,7][3,8][5,6][1,10]

 

 

 

和が11になる数が全てループに組み込まれているので、すべての数列が同じループに入る。何故なら、階差で出てくる数列の2つの数の和は必ず法とする数になるからだ。

 

ループを眺めると、ループの一部分を取り出して[A,B][C,D]と書くとき、2A=C,2B=Dとなっていることが分かる。

 

 

 

また、mod31のとき

 

[0,1][1,30][29,2][4,27][23,8][16,15][30,1]

 

[0,3][3,28][25,6][12,19][7,24][17,14][28,3]

 

となるので、ループが複数個できる場合もあることが分かる。

 

 

 

素数pを法とするとき、2の位数が(p-1)あるいは(p-1)/2ならば、ループは一通りになるようです。

 

 

 

これから、3つの数の数列の場合を考えてみる

 

mod5

 

[0,0,1][0,1,4][1,3,1][2,3,0][1,2,2][1,0,4][4,4,2][0,3,2][3,4,3][1,4,0]

 

となって、長さ8のループが表れた

 

 

 

mod7

 

[0,0,1][0,1,6][1,5,1][4,3,0][6,4,4][5,0,2][2,2,3][0,1,6]

 

となって、長さ6のループが表れた

 

[0,0,2][0,2,5] ([0,2,5][5,0,2]と同値で、[5,0,2]は上に書いたループに含まれているので、上と同じループに入ることが分かる)

 

[0,0,3][0,3,4][3,1,3][5,2,0][4,5,5][1,0,6][6,6,2][0,3,4]

 

となり、[0,3,4][3,1,3][5,2,0][4,5,5][1,0,6][6,6,2][0,3,4]というループも存在することが分かった

 

3つの数の数列の階差を考えるときも、ループが一通りとは限らないことが分かった。

 

 

 

まだ調べきれていないので、分かったことがあれば追記していきます。なにか知っている方、分かる方は教えてください。

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
追記です

modp(pは素数)において、構成する数の和がpの倍数になっているような数列は、必ずループに組み込まれているのではないかと予想しました 真偽が分かる方いたら教えてください
水宮うみ さん 2017/08/05 19:10:57 報告
2
a(3以上の整数)個の数で構成されている数列のループの長さは、an+1型でない素数pを法とするとき、(p-1)の倍数になるのではないかと予想しました
また、an+1型でないときに限り、ループが複数個できる場合、すべてのループの長さは同じになりそうです
水宮うみ さん 2017/08/06 04:58:10 報告
3
2つの数を繰り返す数列の階差のループについて分かったことがあるので記します

ループに組み込まれている数列を一般に[A,-A](modp)と書くことができるので、書くことにします(Aはpと互いに素の整数)

今から[A,-A]の階差を求めていきます
[A,-A]→[-2A,2A]→[4A,-4A]→[-8A,8A]→……
となって、数列を構成する数が2倍になりながら進んでいくことが分かります
よって、modpにおける2の位数が関係していることが分かります。


それでは3つの数を繰り返す数列の階差のループを考えてみる
一般にループに組み込まれている数列を[A,B,-A-B]と書く
[A,B,-A-B]の階差を求めていくと
[A,B,-A-B]→[B-A,-A-2B,2A+B]→[-3B,3(A+B),-3A]→[3(A+2B),-3(2A+B),3(B-A)]
となって、一つ置きに-3倍になっているので、-3の位数が関係していることが分かります
水宮うみ さん 2017/08/06 15:17:14 報告
4
pを素数とする
modpで、p個の数を繰り返す数列の階差をとっていくと、0を繰り返す数列(0,0,0,0,……)が必ず出てくると予想しました
p=2,3,5,7,11のとき一部の数列で試してみましたが、真でした。すべての数列で真になっているかは分からないです
水宮うみ さん 2017/08/13 07:25:20 報告
5
qを奇数とするとき
modpでq個の数を繰り返す数列の階差のループの長さは2(p^((q-1)/2)-1)の約数になりそうです
水宮うみ さん 2017/08/14 04:31:44 報告