原始根と三角関数

  • 公開日時: 2017/07/18 15:13
  • 閲覧数: 585
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 研究・考察

 

 

 

modpの原始根は

 

cos(2π/(p-1))+isin(2π/(p-1))(mod p)

 

と表せることに気付いた。僕の投稿した「時計みたいな素数」と複素数平面の単位円を対応させてもらえると分かる。

 

 

 

例を上げると

 

mod3のとき

 

cos(2π/(p-1))+isin(2π/(p-1))=cosπ+isinπ=-1=2=原始根(mod 3)

 

 

 

mod5のとき

 

cos(2π/(p-1))+isin(2π/(p-1))=cos(π/2)+isin(π/2)=i=(-1)=2,3=原始根(mod 5)

 

 

 

mod7のとき

 

cos(2π/(p-1))+isin(2π/(p-1))=cos(π/3)+isin(π/3)=1/2+(-3)/2=(1+(-3))/2=3,5=原始根(mod 7)

 

 

 

mod11のとき

 

cos(2π/(p-1))+isin(2π/(p-1))=cos(π/5)+isin(π/5)=(1+5)/4+((-1-25))/4×i

 

=(1+5+(1+25))/4

 

=(5+9)/4  (5=4としたとき)  or (8+4)/4  (5=7としたとき)

 

=2,6,7,8=原始根(mod 11)

 

 

 

となっており、cos(2π/(p-1))+isin(2π/(p-1))がそれぞれのpで原始根になっていることが分かる

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
今気づいたのですが、
e^(ix)=cosx+isinx、e^(πi)=-1という有名な公式を使えば、原始根をまた違う形で表せることに気付きました。

e^(ix)=cosx+isinxより、
cos(2π/(p-1))+isin(2π/(p-1))= e^(2πi/(p-1))
e^(πi)=-1より、e^(2πi/(p-1))=(-1)^(2/(p-1))
cos(2π/(p-1))+isin(2π/(p-1))はmodpで原始根なので、(-1)^(2/(p-1))もmodpで原始根になることが分かる
実際に、(-1)^(2/(p-1))は(p-1)乗してはじめて1になる数なので、原始根の条件を満たしている

当たり前なのかもしれませんが、なんか面白いなぁと思いました。

今は、原始根の和をこの原始根の書き方で表すとどうなるかということを考えています。また分かったことがあったらコメントします。
水宮うみ さん 2017/07/18 16:19:02 報告
2


>>1の内容とは関係なく投稿自体の内容に関してなのですが、
√が出てきても解の個数が倍になるだけで、3倍になったりすることはありません。
しかし三乗根が出てくると解の個数を3倍に増やすことができます。
なので、modpの原始根の個数がq(qは素数)の倍数のとき、
cos(2π/(p-1))やsin(2π/(p-1))のなかに必ずq乗根が出てくるのではないかと予想しました
水宮うみ さん 2017/07/18 17:30:35 報告
3
三角関数を使えばmodp(pはan+1型の素数)における位数がaの数をpによらず一般的に書くことができることに気付きました
cos(2π/a)+isin(2π/a)(mod p)という形でです

例をあげると、
位数が3の数は一般的にcos(2π/3)+isin(2π/3)(mod p) 、つまり(-1+√-3)/2(modp)と書くことができることが分かる
付随して、(-1+√-3)/2がmod pで整数になることから、3n+1型の素数を法とするとき-3が必ず平方数になることが分かる

もう少し例をあげると
pを5n+1型の素数とするとき
mod pにおける位数が5の数は一般的にcos(2π/5)+isin(2π/5)(mod p)、つまり (√5-1+√(-10-2√5))/4(mod p)と書ける
水宮うみ さん 2017/07/19 15:07:18 報告
4
上記のこと(投稿自体と>>3)から、
pを素数とし
P(n)=cos(2π×n/(p-1))+isin(2π×n/(p-1))とするとき

{P(1),P(2),……,P(p-1)}={1,2,3,……,p-1}(mod p)
となっていることも分かることに気付いた
水宮うみ さん 2017/07/20 08:47:20 報告