原始根の和と円分多項式

  • 公開日時: 2017/07/16 17:19
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

 

 

原始根の和と円分多項式の関係性についての予想ができたので投稿させてもらいます。

 

 

 

modpにおける(p-1)番目の円分多項式(0と等号で結んだもの)modpにおける原始根の和を表した式が同じになっているのではないかという予想です。(この投稿におけるpは素数という意味で使います)

 

ここで言う原始根の和を表した式とは、

 

(すべての原始根)=(すべての原始根の和の値)

 

という式です

 

mod 11で言うと、原始根のひとつをxとするとき

 

x+x^3+x^7+x^9=1(mod 11)

 

という式が、mod11における原始根の和を表した式です

 

 

 

p-1が平方数を因数に持つときは原始根の和は0になり、平方数を因数に持たず、素因数が奇数個のときは-1に、偶数個のときは1になります(証明は僕の「原始根の和が0,-1,1のいずれかになることの証明」という投稿を参照してください)

 

 

 

今から例として、mod11における原始根の和を表した式と10番目の円分多項式がmod11で同じになることを示します。

 

 

 

まず、10番目の円分多項式を0と等号で結んだものは、

 

x^4-x^3+x^2-x+1=0

 

である

 

 

 

今からmod11における原始根の和を表した式を式変形して、10番目の円分多項式を0と等号で結んだものと同じになることを確認する

 

x+x^3+x^7+x^9=1(mod 11)を移項して、

 

x+x^3+x^7+x^9-1=0(mod 11)

 

xは原始根なので、x^5+1=0(mod 11)

 

つまり、x^7=-x^2,x^9=-x^4(mod 11)なので

 

x+x^3-x^2-x^4-1=0(mod 11)

 

整理すると

 

x^4-x^3+x^2-x+1=0(mod 11)

 

となり、mod11における10番目の円分多項式を0と等号で結んだものと同じになることが確認できた。

 

 

 

このあたりのことから、(p-1)が平方数を因数に持たないとき、(p-1)番目の円分多項式の項数は(p-1)未満の(p-1)と互いに素な数に1を足したものになるのではないかという予想が立ちます。

 

 

 

 

 

なにか思うところある方、似たようなことが此処に書かれているよと教えて下さる方いたらコメントお願いします。僕も、また新しく分かったことがあれば追記していきます。

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
modpにおける(p-1)番目の円分多項式を0と等号で結んだものとmodpにおける原始根の和を表した式が同じになっている(というあくまでの予想だが)ので、円分多項式を0と等号で結んだものはxを原始根として正しい式である。
このことから分かることがある。

例えば、6番目の円分多項式(mod7)をみると
x^2-x+1となっていて、これは先ほど言ったように0と等しいので、
x=x^2+1、つまりx^n=x^(n+1)+x^(n-1)となるので、
乗法群のある数について考えるとき、その両脇の数の和がそのある数になることが分かる

このようなことが一般のmodpに対しても言える

円分多項式の式の法則性があればもっと面白いことが言えそうなので、調べてみます。

水宮うみ さん 2017/07/18 16:56:30 報告
2
(p-1)がq(qは奇素数)の倍数のとき、
aがmodpにおいて位数が2qとすると、
1+a^2+a^4+……+a^(q-1)=a+a^3+a^5+……+a^(q-2)(mod p)
という式が成り立っていることに気付きました

■証明
移項して、
a^(q-1)-a^(q-2)+a^(q-3)-……+1=0(mod p)
(a+1)を両辺に掛けると、
a^q+1=0(mod p)
aの位数が2qなので、この式は正しい
証明終わり

まぁ、当たり前かもしれませんが
水宮うみ さん 2017/07/18 17:13:59 報告