スマートに解く

log10 さん

  • 公開日時: 2017/07/08 11:15
  • 閲覧数: 463
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 研究・考察

Q.

 

円:[式:…]と直線:[式:…]が、二点[式:…]で交わっている。

線分[式:…]の長さを求めよ。

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1
お邪魔します。

1.まず、円の中心(0,0)からこの直線(L)までの距離を求めます。
OからLに垂線 y=-2x を下ろすと、
垂線の足、つまり交点は H(-3/10、3/5)なので
OH = (3/10)√5,
AB = 2√(1-OH^2)=(1/5)√55,

2.中心Oの周りに軸を回して
X = (2x+y)/√5,
Y = (2y-x)/√5,
とおくと、直線Lは
Y = (3/10)√5
これと円周 XX+YY=1 の交点 A,B は
(X, Y)=(±(1/10)√55, (3/10)√5)
AB =(1/5)√55,

ちっともスマートぢゃなくて、すいません。
prime_132 さん 2017/07/09 01:11:25 報告
2
円上の2点を結ぶ線分の長さは,2点間の距離の公式でやると,メンドウな事が多い. たとえば,角度[式:…][式:…]でパラメータ表示すると,半角公式を使わないとルートが外れません. 一方,二等辺三角形を描いて垂線を下ろすと簡単にできますし,点と直線の距離の公式で頭を使わずに求めることもできます. そのような考え方をする問題の例として11年東大第1問などがあります.
??? さん 2017/07/13 20:35:09 報告
3
prime_132さん、???さん、コメントありがとうございます。

僕としては、???さんの考えたように、[式:…][式:…]の二等辺三角形として考える解法を控えておいていました。
???さんの指摘した通り、円周上の2点を求める時は、等しい半径を持つ二等辺三角形に注目して考えると大分楽に解けます。他にも考えようによってもっと様々な解法があるのではないか? と考えているのですが、実際どうなんでしょう。汗
log10 さん 2017/07/14 16:45:43 報告