mod11におけるすべての可能な一般フィボナッチ数列の表

  • 公開日時: 2017/06/25 14:58
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

mod11においての一般フィボナッチ数列の表を作ってみました。

 

 

 

具体的にはa×f(n)+b×f(n+1)=f(n+2)(mod 11)という式を満たす関数f(n)のループの長さのバリエーションと個数を表にしました

 

表のなかのx*yは、長さxのループがy個できた、ということを意味します。

 

ループという言葉の意味を説明します。

 

例えばa=1,b=1のとき

 

f(1)=0,f(2)=1とすると

 

0,1,1,2,3,5,8,2,10,1,0,1,1,2,3,……

 

となって、(0,1,1,2,3,5,8,2,10,1)を繰り返すようになります。この繰り返しをループと呼ぶことにし、10個の数でループができているので、長さ10のループと呼ぶことにしています。

 

 

mod 11

b=1

b=2

b=3

b=4

b=5

b=6

b=7

b=8

b=9

b=10

a=1

10*11+

5*2+1

24*5+1

8*15+1

10*11+

5*2+1

24*5+1

24*5+1

10*11+

5*2+1

8*15+1

24*5+1

10*11+

5*2+1

a=2

10*11+

2*5+1

10*12+1

30*4+1

60*2+1

110+

10+1

55*2+

5*2+1

60*2+1

15*8+1

5*24+1

5*22+1*11

a=3

120+1

10*10+

5*2+2*5+1

120+1

40*3+1

10*11+

5*2+1

10*11+

5*2+1

40*3+1

120+1

10*11+

1*11

120+1

a=4

120+1

10*11+5*2+1

10*10+

5*2+2*5+1

120+1

40*3+1

40*3+1

120+1

10*11+1*11

10*11+

5*2+1

120+1

a=5

40*3+1

120+1

120+1

10*10+

5*2+2*5+1

10*11+

5*2+1

10*11+

5*2+1

10*11+1*11

120+1

120+1

40*3+1

a=6

5*24+1

60*2+1

110+

10+1

30*4+1

10*11+

2*5+1

5*22+1*11

15*8+1

55*2+

5*2+1

60*2+1

10*12+1

a=7

60*2+1

15*8+1

10*12+1

110+

10+1

5*22+

1*11

10*11+

2*5+1

55*2+

5*2+1

5*24+1

30*4+1

60*2+1

a=8

110+

10+1

5*24+1

60*2+1

5*22+

1*11

30*4+1

15*8+1

10*11+

2*5+1

60*2+1

10*12+1

55*2+

5*2+1

a=9

10*11+

5*2+1

40*3+1

10*11+1*11

120+1

120+1

120+1

120+1

10*10+

5*2+2*5+1

40*3+1

10*11+

5*2+1

a=10

6*20+1

11*10+1*11

5*24+1

10*12+1

12*10+1

12*10+1

5*24+1

10*12+1

22*5+

2*5+1

3*40+1

 

 

 

 

 

 表を作って分かったことはこれからおいおい加筆していきます。分かったことがある方がいたらコメントお願いします

 

■長さが(p-1)の約数(今回は10の約数)のできる(a,b)は、必ず乗法群であり且つフィボナッチ的でもあるループのある(a,b)になっていることが分かった。

例えば、a=1,b=4のときf(n)+4×f(n+1)=f(n+2)(mod 11)を満たし且つ1に6を掛けていってできる並びでもある(1,6,3,7,9,10,5,8,4,2)というループがあるので、ループがすべて(p-1)の約数になっている

また、x^2-bx-a=0(mod 11)が重解を持つとき、pの倍数(今回は11の倍数)のループを持つ

 

■-aがpの原始根(modpにおいて、p-1乗して初めて1になるような数を原始根と呼ぶ)になっているとき、任意のbで長さp^2-1のループが表れる

例えば、a=3のとき、-3、つまり8は11の原始根なので、任意のb(今回は1,3,8,10。bの規則を僕はまだ発見できていません)で長さ120のループが表れている

 

■長さの表れ方のバリエーションとしては、少なくともmod11においては

・x^2-bx-a=0が重解を持つ、つまりb^2+4a=0(modp)の(a,b)(pの倍数のループがある)

・x^2-bx-a=0が2つの整数解を持つ、つまりb^2+4aが0でない平方剰余になっている(a,b)(すべてのループが(p-1)の約数)

・x^2-bx-a=0が整数解を持たない(a,b)その①

(すべてのループの長さが、(p+1)×qになっている。)(qは-aのmodpにおける位数)(位数とは、modpにおいてq乗すると1になるときのqのこと)

・x^2-bx-a=0が整数解を持たない(a,b)その②(その②は①より長さが短い)

の4パターンがある。

パターンのことを色と呼び、パターンが同じことを同じ色になっていると呼ぶことにする。


rを自然数とするとき

(a,b)と(a×r^2,b×r)は同じ色になっている

ということが予想されます。例えば、(1,3)(a=1,b=3ということを表している)と(1×2^2,3×2)(つまり(4,6))は同じ色になっている

 

(a,a-1)の場所では長さ2のループが(p-1)/2個、(a,1-a)の場所では長さ1のループがp個できるようです

ちなみに、(0,0)というループを除いて長さの種類が3つできることがあるのは(a,a-1)の場所のみのようです

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