cos(nθ)の収束条件

OTANTAN さん

  • 公開日時: 2017/05/22 04:35
  • 閲覧数: 271
  • コメント数: 2
  • カテゴリ: 入試・教育

とある問題集に,cos(nθ)が収束するためのθの条件を求めよ.

という問題があったと思うのですが,(滋賀医大の問題だそうです)記憶を辿ると,その答案は

cos(nθ)が収束するならばcos((n+1)θ)も同じ値に収束することよりcos(nθ)=cos((n+1)θ)でなければならないので…

となっていましたが,この答案は厳密な極限の定義に立ち返って考えると,誤りでしょう.

今の所高校数学の範囲で解ける解法を2つほど見つけていますが,どちらも高校生が思いつくような答案ともいえず,悩んでいます.

これ,高校数学の範囲で綺麗に解けるんでしょうか?

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書き込んでから気付きましたが,(自己解決ですみません)
①:cos(n+1)θ-cos(n-1)θ=-2sin(nθ)sinθ
②:sin(n+1)θ-sin(n-1)θ=2cos(nθ)sinθ
よりsinθ≠0,つまりθ≠kπの時は,cos(nθ)が収束するならば①式よりsin(nθ)は0に収束し,②式よりcos(nθ)も0に収束する.しかしこれは(sin(nθ))^2+(cos(nθ))^2=1に矛盾.
故にθ≠kπでは収束しない.θ=(2k-1)πでも振動するので収束せず,θ=2kπでは収束する.
とやるのが模範解でしょうか.
当方用意していたものはクロネッカーの定理を用いる方法と,{cos(n+m)θ}が収束することを利用する方法でしたが,他にもありそうでしたらご案内いただけると幸いです.
OTANTAN さん 2017/05/22 06:09:06 報告
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OTANTANさんの方法、模範的で高校生にも分かりやすいのではないでしょうか。

似たようなものですが…私は次のように考えました。

[式:…] が収束して極限値が [式:…] となるならば、
[式:…] も収束して
   [式:…]
[式:…] も収束して
   [式:…]
となるから、[式:…] である。つまり、収束するなら
   [式:…]
である。ということは、
   [式:…]
[式:…] とすると
   [式:…]
となる。すなわち、[式:…] が収束するならば [式:…] でなければならない。
しかし [式:…] であれば [式:…] が収束しているのは明白なので、求める条件は
   [式:…]
アンドロメダ さん 2017/05/22 15:08:19 報告