必要条件で絞って十分性を確認する

  • 公開日時: 2017/05/17 16:56
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  • カテゴリ: 入試・教育

帰省時に確認してみました。

必要性の問題.gif 

 

「実況中継」の参考書でしたので、解答となる(必要)条件ではない場合の説明もございましたが、

より緩い条件で絞った場合の解答は、下記のとおりでした。

必要性の問題 解答1.gif 

必要性の問題 解答2.gif 

必要性の問題 解答3.gif 

 

x=y=z=1 で得た a≧[式:…] のときと違って、同値変形で処理???…

 

 

「解答」となる条件で絞らなかった(絞れなかった)場合、

それを前提に十分性を確認すると、より厳しい条件(=正答)に気付くことができない。

すなわち、「必要性で絞って十分性を確認する」という解法を用いるのであれば、

解答となる条件で絞らないと無意味(正答を導けない)、

という理解でよろしいでございますでしょうか?

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> 「解答」となる条件で絞らなかった(絞れなかった)場合、
> それを前提に十分性を確認すると、より厳しい条件(=正答)に気付くことができない。
> すなわち、「必要性で絞って十分性を確認する」という解法を用いるのであれば、
> 解答となる条件で絞らないと無意味(正答を導けない)、
> という理解でよろしいでございますでしょうか?

おそらく、いろいろな話が重なっていること、実際に聞きたいのは書かれていることとは少し違うと思われることなどにより、話がわかりにくくなっています。引っかかる元になったのは「気付くことができない」とか「無意味(正答を導けない)」といった言い方です。
直接的に聞かれているのは
 (a) 「必要条件で絞って十分性を確認する」解法の適否、
   あるいはそれをどう使うか。
のようですが、むしろ聞きたいいのは
 (b) 適切な条件をどう発想するか(思いつくか)
といったことのように感じます。さらに:
 (c) 解答を作成・清書する段階の話か、その以前の(試行錯誤的な)過程か
でも話がだいぶ違います。

> 「必要性で絞って十分性を確認する」という解法を用いるのであれば、
> 解答となる条件で絞らないと無意味(正答を導けない)

これが「必要性が十分絞られていない条件では正解に至らないか?」という質問なら、直接的な答は yes です。
しかしそれが無意味か、また「より厳しい条件(=正答)に気付くことができない」かは全然違う話です。

「条件」を考えるには、集合の上で考えたほうが見やすいでしょう。
例えば [式:…] という条件は、これを満たす [式:…] の集合と考える。その集合を [式:…] とすれば
  [式:…]
これだとわかりにくいかもしれませんが、例えば「サイコロの目が偶数」という条件は:
  [式:…]
という集合として考えます。「条件」に戻すなら「[式:…][式:…] の要素である([式:…])」とすればよい。

本問の正解となる [式:…] の値の集合を [式:…] とします(問題は「最小値を求めよ」ですが、全体が求められればその中の最小値が求める答です)。
勝手な集合 [式:…] を持ってきたとき、
 ・[式:…] なら [式:…] は(解答の)十分条件
 ・[式:…] なら [式:…] は(解答の)必要条件
です(念のため: [式:…][式:…] の場合も含みます)。

おすまんさんの言う「絞られていない必要条件」は、[式:…][式:…] の真部分集合([式:…])である場合にあたります。
[式:…] が必要条件であるのは正しいとして、これが十分条件でもあることを言うには [式:…]、つまりは [式:…] であることを示す必要があります。これが証明できないとすれば、単に自分に証明能力がないか、そうでなければ [式:…] の中に [式:…] の要素でないものがある、つまり:
   [式:…] かつ [式:…]
となる [式:…] が存在することになります(=反例)。
そういう反例があれば、[式:…] をさらに絞った [式:…]
   [式:…]
を見つければよい。あとは同じことの繰り返しです。
また必要条件の側からだけでなく、十分条件のほうからも考えていくことができます。こちらは最初の [式:…] から段々([式:…] に向けて)拡大していくことになります。
   [式:…]
としていって、最後 [式:…][式:…][式:…] と一致すれば証明終了です。

このような解答作成手順は正しいものであり、難しい問題であれば多くのステップがあってもおかしくありません。その意味では「必要性で絞って十分性を確認する」という方法そのものには問題はなく、ただ [式:…] と進んでいく各ステップ(あるいは [式:…] と進んでいくステップ)を思いつけるかどうかです。だから上で述べた
 (b) 適切な条件をどう発想するか(思いつくか)
のことではないかと思うわけです。
なお (c) について、実際に解答を書く段階では、上の外側の部分は全部飛ばして、最後の
   [式:…]
になったところだけを書くのが普通です。したがってその前の裏事情がわからなければ、どうしてそのような発想に至るのかがわかりにくくても不思議ではありません。

==========
それでは解答をどう発想するかですが、これは一般的な解決方法があるわけではありません。経験を重ね、視野も広げていく必要はあります。
「別解」に書かれていることも何か取り散らかっている感じがします。

具体例を調べる場合でも、ただ闇雲に探しても意味がありません。ある程度の処方箋はありますが、その一部を本問に即して言えば:
 ・[式:…] などの場合を考えるほかに:
 ・問題を簡略化する(次元を下げる):
   [式:…]
   [式:…]
 などから考えていくと、一般の場合も類推がつきます。
 なお上はそれぞれ、元問題で [式:…] とおくことにも相当します。

またアプローチとして、図形的に考えるなど、少し離れた見地から考えることも有用です。本問の場合、[式:…] を空間座標として考えるなど。
そうすると [式:…] は原点からの距離、というより、
   [式:…]
とでも置けば、原点からの距離が [式:…] である [式:…] の全体(=球面)を考えていることになる。一方:
   [式:…]
は平面の方程式です。ここらをいじればそのまま解答に結びつきうる。

なお本問でおそらく一番簡単なのは、ベクトル(の内積・長さ)で考えることです。
   [式:…]
として、[式:…] のなす角を [式:…] とすれば、[式:…] の内積 [式:…] は:
   [式:…]
つまり
   [式:…]
[式:…] の値に応じて) [式:…] だから:
   [式:…]
これから問題の [式:…] は明らかでしょう。

(Cauchy-Schwarz と言えば言えるけど、その証明にベクトルの内積使ったりしなかったっけ?)
平賀 譲 さん 2017/05/21 23:09:27 報告