- 公開日時: 2017/08/11 08:18
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- コメント数: 8
- カテゴリ: 入試・教育
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お邪魔します。 [1] nについての帰納法によります。 ![f_{1}(x) = \int _{a}\ ^{x} f(t)dt\ \ \cdots \cdots \ (2) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? f_{1}(x) = \int _{a}\ ^{x} f(t)dt\ \ \cdots \cdots \ (2) ) とおくと、 題意(k=0)より、 ![f_{1}(a) = f_{1}(b) = 0\ \ \ \cdots \cdots\ (3) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? f_{1}(a) = f_{1}(b) = 0\ \ \ \cdots \cdots\ (3) ) 次に f_1(x)の零点が (a,b) に少なくともn個存在することを示します。 ・n=0 のときは明らか。 ・n>0 のとき 平賀先生と同様、部分積分を行なうと、 ![k=1,2,\cdots,n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k=1,2,\cdots,n) に対して: ![0 = \int _{a}\ ^{b} f(x)\ x^{k}\ dx [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? 0 = \int _{a}\ ^{b} f(x)\ x^{k}\ dx ) ![= [\ x^{k}\ f_{1}(x)\ ] _{a} ^{b}\ -\ k \int _{a}\ ^{b}\ x^{k-1}\ f_{1}(x)\ dx [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? = [\ x^{k}\ f_{1}(x)\ ] _{a} ^{b}\ -\ k \int _{a}\ ^{b}\ x^{k-1}\ f_{1}(x)\ dx ) ![= -\ k \int _{a}\ ^{b}\ x ^{k-1}\ f_{1}(x)\ dx,\ \ \((3) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? = -\ k \int _{a}\ ^{b}\ x ^{k-1}\ f_{1}(x)\ dx,\ \ \((3) ) を使って) ![\int _{a}\ ^{b}\ x ^{k-1}\ f_{1}(x)\ dx = 0, [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? \int _{a}\ ^{b}\ x ^{k-1}\ f_{1}(x)\ dx = 0, ) ∴ f_1(x)は n-1 に対する条件を満たしています。 ∴ 帰納法の仮定により、 f_1(x)の零点が (a,b) に少なくともn個存在します。 これと(3)を合わせて、f_1(x)の零点が[a,b]に少なくともn+2個存在します。 そのうち隣り合う2つを c, d とします。 この区間で f_1(x)は微分可能だから、ロルの定理により、 ![f(\xi)=\ f_{1}'(\xi)=0,\ c \lt \xi \lt \ d [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? f(\xi)=\ f_{1}'(\xi)=0,\ c \lt \xi \lt \ d ) を満たす実数ξがあります。 ∴ f(x)の零点が(a,b)に少なくともn+1個存在します。 |
prime_132 さん
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2017/08/16 13:40:35 |
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F(b)=0 はどこから出るのか? 題意に、k=0を含む? |
クロニャンコ さん
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2017/08/16 20:46:13 |
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>>2 題意にk=0の場合も含むと拡大解釈しました。 例) k≧1 だけだと、 n=1、f(x) = (a+b)x - 2(aa+ab+bb)/3 なども題意を満たしてしまいます。
>>1 平均値の定理がない… |
prime_132 さん
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2017/08/17 13:27:30 |
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prime_132 さんのコメント >>3 は正しい指摘で、さらに簡単な反例としては: ![n=1,\ \ \ a=-1,\ \ b=+1,\ \ f(x) = 1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n=1,\ \ \ a=-1,\ \ b=+1,\ \ f(x) = 1) (もっとも >>3 の特別な場合にすぎませんが)。 ![n > 1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n > 1) なら: ![n=2,\ \ \ a = 0,\ \ b = 1,\ \ f(x) = 10 x^2 - 12 x + 3 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n=2,\ \ \ a = 0,\ \ b = 1,\ \ f(x) = 10 x^2 - 12 x + 3) など。したがって ![k=0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k=0) を加えるなど、問題の微修正が必要です。 しかし一方、>>1 の証明はわからない。 帰納法はどう使われているのでしょう。そもそも本問は ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) についての帰納法で解ける問題ではないと思う。それと ![k [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k) についての帰納法(というか、 ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) を固定して ![k [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k) をその中で動かすこと)とは違います。以下に示すのもそのような解法で、prime_132 さんの意図もここらかもしれません。 ================== 備考 * 上述のように、問題の条件に ![k=0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k=0) を加えます: ![{\int_a}^b x^k f(x) dx = 0\ \ \ \ \ \ (k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)\ ...............\ {\rm (A)} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?{\int_a}^b x^k f(x) dx = 0\ \ \ \ \ \ (k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)\ ...............\ {\rm (A)}) * >>1 にもあるように、 ![\rm (A) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\rm (A)) は下の ![\rm (B) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\rm (B)) と同値です: ![{\int_a}^b p(x) f(x) dx = 0\ .........................\ {\rm (B)} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?{\int_a}^b p(x) f(x) dx = 0\ .........................\ {\rm (B)}) ( ![p(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?p(x)) は ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) 次以下の任意の多項式) ただしこの形にしてもあまりメリットはないので、以下では ![\rm (A) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\rm (A)) を用います。 * (与えられた ![a,\ b,\ n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?a,\ b,\ n) に対し)そもそも ![\rm (A) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\rm (A)) を満たす ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) が存在するかが問題です。存在しなくても問題としては成立しますが、それでは少しつまらない。結論から言えば、そのような ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は常に存在し、さらに多項式で構成できます(これについては末尾で)。 =========== 前置きが長くなりました。 与えられた ![a,\ b,\ n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?a,\ b,\ n) に対し、 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は ![\rm (A) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\rm (A)) を満たすとします。 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) のゼロ点( ![a < x < b [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?a < x < b) で ![f(x)=0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)=0) となる ![x [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?x) )が無限個あれば題意は満たされますから、以下ではゼロ点は有限個として記します。また以下の都合上、 ![f_0(x) = f(x)\ ....................\ (1) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_0(x) = f(x)\ ....................\ (1)) と書き、さらにその不定積分を: ![f_1(x) = {\int_a}^x f_0(t) dt = {\int_a}^x f(t) dt\ .............\ (2) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_1(x) = {\int_a}^x f_0(t) dt = {\int_a}^x f(t) dt\ .............\ (2)) とします。 ![\rm (A) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\rm (A)) の ![k=0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k=0) の場合より、 ![f_1(a) = f_1(b) = 0\ .............\ (3) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_1(a) = f_1(b) = 0\ .............\ (3)) です。 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は連続ですから ![f_1(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_1(x)) は微分可能で: ![f_1'(x) = f_0(x) = f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_1'(x) = f_0(x) = f(x)) が成り立ちます。もっともこの形で使う(=微分の平均値の定理を使う)よりは、積分の平均値の定理: ![\exists c \in (a,\ b):\ \ f(c) = \frac{1}{b-a}{\int_a}^b f(x) dx [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\exists c \in (a,\ b):\ \ f(c) = \frac{1}{b-a}{\int_a}^b f(x) dx) を使うほうが簡単でしょう。これから、 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) にはゼロ点が少なくとも1つあることはわかります(自明?)。 prime_132 さん同様、部分積分を行うと、 ![k = 1,\ 2,\ \cdots,\ n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k = 1,\ 2,\ \cdots,\ n) に対し: ![= \left[x^k f_1(x)\right]_a^b - k {\int_a}^b x^{k-1} f_1(x) dx [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?= \left[x^k f_1(x)\right]_a^b - k {\int_a}^b x^{k-1} f_1(x) dx) ( ![(3) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?(3)) を使って) 以上をまとめると: ![\bullet\ \ {\int_a}^b x^k f_1(x) dx = 0\ \ \ \ \ (k = 0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\bullet\ \ {\int_a}^b x^k f_1(x) dx = 0\ \ \ \ \ (k = 0,\ 1,\ \cdots,\ n-1)) 第2項は ![\rm (A) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\rm (A)) で ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) を ![n-1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n-1) に変えただけなので、上を繰り返し適用すると: ![f_2(x) = {\int_a}^x f_1(t) dt [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_2(x) = {\int_a}^x f_1(t) dt) とすれば ![\bullet\ \ {\int_a}^b x^k f_2(x) dx = 0\ \ \ \ \ (k = 0,\ 1,\ \cdots,\ n-2) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\bullet\ \ {\int_a}^b x^k f_2(x) dx = 0\ \ \ \ \ (k = 0,\ 1,\ \cdots,\ n-2)) 以下も同様で ![f_{n-1}(x) = {\int_a}^x f_{n-2}(t) dt [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_{n-1}(x) = {\int_a}^x f_{n-2}(t) dt) に対し ![\bullet\ \ {\int_a}^b x^k f_{n-1}(x) dx = 0\ \ \ \ \ (k = 0,\ 1) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\bullet\ \ {\int_a}^b x^k f_{n-1}(x) dx = 0\ \ \ \ \ (k = 0,\ 1)) 最後に: ![f_{n}(x) = {\int_a}^x f_{n-1}(t) dt [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_{n}(x) = {\int_a}^x f_{n-1}(t) dt) に対し ![\bullet\ \ {\int_a}^b f_{n}(x) dx = 0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\bullet\ \ {\int_a}^b f_{n}(x) dx = 0) ======= ここで上述のように、積分の平均値の定理により ![f_n(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_n(x)) はゼロ点を持ちます: ![\exists c:\ \ f_n(c) = 0\ \ \ \ (a < c < b) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\exists c:\ \ f_n(c) = 0\ \ \ \ (a < c < b)) したがって ![{\int_c}^b f_{n-1}(x) dx = f_n(b) - f_n(c) = 0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?{\int_c}^b f_{n-1}(x) dx = f_n(b) - f_n(c) = 0) なので ![f_{n-1}(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_{n-1}(x)) は開区間 ![(a,\ c) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?(a,\ c)) と ![(c,\ b) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?(c,\ b)) とにそれぞれ少なくとも1個ずつゼロ点を持ちます。 以下も同様で、 ![f_k(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_k(x)) の隣り合うゼロ点の間に ![f_{k-1}(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_{k-1}(x)) のゼロ点が少なくとも1個存在します。両端の ![f_k(a) = f_k(b) = 0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_k(a) = f_k(b) = 0) と合わせると、植木算の要領で ![f_{k-1}(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_{k-1}(x)) のゼロ点は ![f_k(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_k(x)) のゼロ点より少なくとも1個多いことになります。 ![f_k(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_k(x)) の開区間 ![(a,\ b) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?(a,\ b)) におけるゼロ点の個数を ![Z(k) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?Z(k)) と書けば: ![1 \leq Z(n) < Z(n-1) < \cdots < Z(1) < Z(0) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?1 \leq Z(n) < Z(n-1) < \cdots < Z(1) < Z(0)) ということです。したがって ![Z(0) \geq n+1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?Z(0) \geq n+1) 。 ![Z(0) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?Z(0)) は ![f_0(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_0(x)) 、つまり ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) のゼロ点の個数ですから、これが ![n+1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n+1) 個以上あることになります。 【証明終】 =================================== 元問題で ![k=0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k=0) を含めないと、上の証明に照らせば: ![f_1(a) = f_1(b) = 0\ .............\ (3) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_1(a) = f_1(b) = 0\ .............\ (3)) が保証されないことになります。その結果、反例が生じてしまったわけです。 もちろん、 ![k=0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k=0) を省いても結論を満たす ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は構成できますが、それは別の話です。 ======= 最後に ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) の構成例を簡単に見ておきましょう。 ![a = -1,\ b = 1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?a = -1,\ b = 1) とし、 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) を偶関数とすれば: ![{\int_{-1}}^1 x^{2k+1} f(x) dx = 0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?{\int_{-1}}^1 x^{2k+1} f(x) dx = 0) は明らか。したがって ![k [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k) が偶数の場合だけを考えればよい。例えば: ![f(x) = x^4 + a x^2 + b [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x) = x^4 + a x^2 + b) とすると: ![\frac{\,1\,}{\,2\,}{\int_{-1}}^1 x^2 f(x) dx = \frac{\,1\,}{\,5\,} a + \frac{\,1\,}{\,3\,}b + \frac{\,1\,}{\,7\,} = 0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\frac{\,1\,}{\,2\,}{\int_{-1}}^1 x^2 f(x) dx = \frac{\,1\,}{\,5\,} a + \frac{\,1\,}{\,3\,}b + \frac{\,1\,}{\,7\,} = 0) これを解くと: ![a = -\frac{\,6\,}{\,7\,},\ \ \ b = \frac{3}{35} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?a = -\frac{\,6\,}{\,7\,},\ \ \ b = \frac{3}{35}) つまり ![f(x) = x^4 - \frac{\,6\,}{\,7\,} x^2 + \frac{3}{35} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x) = x^4 - \frac{\,6\,}{\,7\,} x^2 + \frac{3}{35}) とすれば、 ![{\int_{-1}}^1 x^k f(x) dx = 0\ \ \ \ \ \ \ (k = 0,\ 1,\ 2,\ 3) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?{\int_{-1}}^1 x^k f(x) dx = 0\ \ \ \ \ \ \ (k = 0,\ 1,\ 2,\ 3)) が成り立ちます。これだと ![n=3 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n=3) ですね( ![k [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k) が奇数ならいつでも成り立つけど)。 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は開区間 ![(-1,\ 1) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?(-1,\ 1)) で4個(=3+1)のゼロ点を持ちます。 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) の次数を増やせば(係数の連立一次方程式を解くことで)もっと大きな ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) に対応できますし、「 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は偶関数」を「 ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は奇関数」に置き換えれば ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) が偶数の場合も構成できます(詳細略)。 任意の区間 ![[a,\ b] [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?[a,\ b]) については、 ![[-1,\ 1]\ \ \Leftrightarrow\ \ [a,\ b] [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?[-1,\ 1]\ \ \Leftrightarrow\ \ [a,\ b]) の変換はアフィン変換(定数倍+平行移動)で対応でき、多項式の次数は変わりませんから、 ![\rm (B) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\rm (B)) と合わせて考えれば、この場合でも ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は構成可能です。もちろん、もっと簡潔な構成方法もいくらでもあるでしょう。 【参考】 上で: ![\frac{\,1\,}{\,2\,}{\int_{-1}}^1 x^4 f(x) dx = \frac{\,1\,}{\,7\,} a + \frac{\,1\,}{\,5\,}b + \frac{\,1\,}{\,9\,} = 0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\frac{\,1\,}{\,2\,}{\int_{-1}}^1 x^4 f(x) dx = \frac{\,1\,}{\,7\,} a + \frac{\,1\,}{\,5\,}b + \frac{\,1\,}{\,9\,} = 0) を使って: ![f(x) = x^4 - \frac{10}{9} x^2 + \frac{5}{21} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x) = x^4 - \frac{10}{9} x^2 + \frac{5}{21}) を作ると: ![{\int_{-1}}^1 x^k f(x) dx = 0\ \ \ \ \ \ \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?{\int_{-1}}^1 x^k f(x) dx = 0\ \ \ \ \ \ \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)) となります。この場合、 ![k=0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?k=0) では積分は ![0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?0) にならず、 ![f(x) = 0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x) = 0) は ![(-1,\ 1) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?(-1,\ 1)) にゼロ点を(6個ではなく)4個持ちます。これも元問題の反例ですね。このあたりの事情も考えてみてください。 |
平賀 譲 さん
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2017/08/25 14:58:46 |
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報告
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![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) の構成法の例ということなら、もっと簡単・機械的な方法がありますね。実際の関数計算は面倒ですが。 要するに >>4 の証明を逆回しに考えればよい。多項式で考えるなら、与えられた ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) に対し、 * ![f(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)) は ![n+1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n+1) 次以上 * ![f_k(a) = f_k(b) = 0\ \ (k = 1,\ \cdots,\ n) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f_k(a) = f_k(b) = 0\ \ (k = 1,\ \cdots,\ n)) を満たせばいいから: ![F(x) = \{(x-a)(b-x)\}^{n+1} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?F(x) = \{(x-a)(b-x)\}^{n+1}) として ![f(x) = F^{(n+1)}(x)\ =\ \frac{d^{n+1} F}{dx^{n+1}} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x) = F^{(n+1)}(x)\ =\ \frac{d^{n+1} F}{dx^{n+1}}) とでもすればよい。これでいいかのチェックは考えてください。 |
平賀 譲 さん
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2017/08/25 16:39:50 |
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アンドロメダ さん
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2017/10/16 16:17:49 |
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報告
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![f [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f) は実数値連続として, ![(a,\ b) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?(a,\ b)) に属する ![\{f>0\},\ \{f<0\} [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\{f>0\},\ \{f<0\}) の境界点の個数が ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) 以下ならば,(符号が変わる点を縫うように作れば) ![f(x) p(x)\ge0\ (a\le x\le b) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x) p(x)\ge0\ (a\le x\le b)) となる高々 ![n [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?n) 次の定数でない実係数多項式 ![p(x) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?p(x)) があり, ![f [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f) の性質により ![\int_{a}^{b}{ f(x) p(x) }\ d{x}=0 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?\int_{a}^{b}{ f(x) p(x) }\ d{x}=0) つまり, ![f(x)=0\ (a\le x\le b) [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi?f(x)=0\ (a\le x\le b)) となりますね. |
honda さん
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2017/10/27 19:06:44 |
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報告
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8 |
>>5 ルジャンドルの多項式ですね。 ![f(x)\ =\ m!\ ((-1)(b-a)) ^{m}\ P _{m}(\xi), [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? f(x)\ =\ m!\ ((-1)(b-a)) ^{m}\ P _{m}(\xi), ) ![\xi\ =\ (2x-a-b)/(b-a),\ \ m \ge n+1 [式:…]](http://suseum.jp/mimetex/mimetex.cgi? \xi\ =\ (2x-a-b)/(b-a),\ \ m \ge n+1 ) たしかにn次以下のすべての多項式と直交し、また(a,b)にn+1個以上の零点があります。 高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) §36. Legendreの球函数 |
prime_132 さん
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2017/10/28 23:27:22 |
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報告
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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle}
\usepackage[margin=.7in]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{ascmac}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{emathP}
\usepackage{ulem}
\begin{document}
\begin{shadebox}
\\
\fbox{1} $[a,b] \,\,\, (a<b)$ で連続な関数 $f(x)$ が、
\[ \int_{a}^{b} f(x) x^k \, dx =0 \,\,\,\, (k=1,2, \cdots n) \]
をみたすとき、 $f(x)=0$となる実数$x$は $(a,b)$ に少なくとも $n+1$ 個存在することを示して下さい。\\
\end{shadebox}
\bigskip
\begin{shadebox}
\\
\fbox{2} $m, n \, (m<n) $ は自然数、$a_k , b_k \, (k=m,m+1, \cdots , n) $は実数のとき、
\[ \sum_{k=m}^{n} \left( a_k \cos kx + b_k \sin kx \right) =0 \]
をみたす実数$x$は$[0, 2 \pi )$に少なくとも$2m$個存在することを示して下さい。 \\
\end{shadebox}
\end{document}