平均値の定理の練習

  • 公開日時: 2017/08/11 08:18
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  • コメント数: 8
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
お邪魔します。
[1]
nについての帰納法によります。

[式:…]

とおくと、 題意(k=0)より、
[式:…]


次に f_1(x)の零点が (a,b) に少なくともn個存在することを示します。

・n=0 のときは明らか。

・n>0 のとき

平賀先生と同様、部分積分を行なうと、[式:…] に対して:

[式:…]

[式:…]
[式:…] を使って)

 [式:…]

∴ f_1(x)は n-1 に対する条件を満たしています。
∴ 帰納法の仮定により、
 f_1(x)の零点が (a,b) に少なくともn個存在します。

これと(3)を合わせて、f_1(x)の零点が[a,b]に少なくともn+2個存在します。

そのうち隣り合う2つを c, d とします。
この区間で f_1(x)は微分可能だから、ロルの定理により、
[式:…] を満たす実数ξがあります。
∴ f(x)の零点が(a,b)に少なくともn+1個存在します。
prime_132 さん 2017/08/16 13:40:35 報告
2
F(b)=0 はどこから出るのか?
題意に、k=0を含む?
クロニャンコ さん 2017/08/16 20:46:13 報告
3
>>2
題意にk=0の場合も含むと拡大解釈しました。

例)
k≧1 だけだと、
n=1、f(x) = (a+b)x - 2(aa+ab+bb)/3
なども題意を満たしてしまいます。

>>1
平均値の定理がない…
prime_132 さん 2017/08/17 13:27:30 報告
4
prime_132 さんのコメント >>3 は正しい指摘で、さらに簡単な反例としては:
   [式:…]
(もっとも >>3 の特別な場合にすぎませんが)。[式:…] なら:
   [式:…]
など。したがって [式:…] を加えるなど、問題の微修正が必要です。

しかし一方、>>1 の証明はわからない。
帰納法はどう使われているのでしょう。そもそも本問は [式:…] についての帰納法で解ける問題ではないと思う。それと [式:…] についての帰納法(というか、[式:…] を固定して [式:…] をその中で動かすこと)とは違います。以下に示すのもそのような解法で、prime_132 さんの意図もここらかもしれません。

==================
備考
* 上述のように、問題の条件に [式:…] を加えます:
   [式:…]

* >>1 にもあるように、[式:…] は下の [式:…] と同値です:
   [式:…]
 ([式:…][式:…]次以下の任意の多項式)
 ただしこの形にしてもあまりメリットはないので、以下では [式:…] を用います。

* (与えられた [式:…] に対し)そもそも [式:…] を満たす [式:…] が存在するかが問題です。存在しなくても問題としては成立しますが、それでは少しつまらない。結論から言えば、そのような [式:…] は常に存在し、さらに多項式で構成できます(これについては末尾で)。

===========
前置きが長くなりました。
与えられた [式:…] に対し、[式:…][式:…] を満たすとします。[式:…] のゼロ点([式:…][式:…] となる [式:…])が無限個あれば題意は満たされますから、以下ではゼロ点は有限個として記します。また以下の都合上、
   [式:…]
と書き、さらにその不定積分を:
   [式:…]
とします。[式:…][式:…] の場合より、
   [式:…]
です。[式:…] は連続ですから [式:…] は微分可能で:
   [式:…]
が成り立ちます。もっともこの形で使う(=微分の平均値の定理を使う)よりは、積分の平均値の定理:
   [式:…]
を使うほうが簡単でしょう。これから、[式:…] にはゼロ点が少なくとも1つあることはわかります(自明?)。

prime_132 さん同様、部分積分を行うと、[式:…] に対し:
   [式:…]
      [式:…]    ([式:…] を使って)
      [式:…]    

以上をまとめると:
   [式:…]
   [式:…]

第2項は [式:…][式:…][式:…] に変えただけなので、上を繰り返し適用すると:
   [式:…]
とすれば
   [式:…]
   [式:…]

以下も同様で
   [式:…]
に対し
   [式:…]
   [式:…]
最後に:
   [式:…]
に対し
   [式:…]
   [式:…]

=======
ここで上述のように、積分の平均値の定理により [式:…] はゼロ点を持ちます:
   [式:…]
したがって
   [式:…]
   [式:…]
なので [式:…] は開区間 [式:…][式:…] とにそれぞれ少なくとも1個ずつゼロ点を持ちます。
以下も同様で、[式:…] の隣り合うゼロ点の間に [式:…] のゼロ点が少なくとも1個存在します。両端の [式:…] と合わせると、植木算の要領で [式:…] のゼロ点は [式:…] のゼロ点より少なくとも1個多いことになります。[式:…] の開区間 [式:…] におけるゼロ点の個数を [式:…] と書けば:
   [式:…]
ということです。したがって [式:…]
[式:…][式:…]、つまり [式:…] のゼロ点の個数ですから、これが [式:…]個以上あることになります。   【証明終】

===================================
元問題で [式:…] を含めないと、上の証明に照らせば:
   [式:…]
が保証されないことになります。その結果、反例が生じてしまったわけです。
もちろん、[式:…] を省いても結論を満たす [式:…] は構成できますが、それは別の話です。

=======
最後に [式:…] の構成例を簡単に見ておきましょう。
[式:…] とし、[式:…] を偶関数とすれば:
   [式:…]
は明らか。したがって [式:…] が偶数の場合だけを考えればよい。例えば:
   [式:…]
とすると:
   [式:…]
   [式:…]
これを解くと:
   [式:…]
つまり
   [式:…]
とすれば、
   [式:…]
が成り立ちます。これだと [式:…] ですね([式:…] が奇数ならいつでも成り立つけど)。[式:…] は開区間 [式:…] で4個(=3+1)のゼロ点を持ちます。
[式:…] の次数を増やせば(係数の連立一次方程式を解くことで)もっと大きな [式:…] に対応できますし、「[式:…] は偶関数」を「[式:…] は奇関数」に置き換えれば [式:…] が偶数の場合も構成できます(詳細略)。

任意の区間 [式:…] については、
   [式:…]
の変換はアフィン変換(定数倍+平行移動)で対応でき、多項式の次数は変わりませんから、[式:…] と合わせて考えれば、この場合でも [式:…] は構成可能です。もちろん、もっと簡潔な構成方法もいくらでもあるでしょう。

【参考】 上で:
   [式:…]
   [式:…]
を使って:
   [式:…]
を作ると:
   [式:…]
となります。この場合、[式:…] では積分は [式:…] にならず、[式:…][式:…] にゼロ点を(6個ではなく)4個持ちます。これも元問題の反例ですね。このあたりの事情も考えてみてください。
平賀 譲 さん 2017/08/25 14:58:46 報告
5
[式:…] の構成法の例ということなら、もっと簡単・機械的な方法がありますね。実際の関数計算は面倒ですが。

要するに >>4 の証明を逆回しに考えればよい。多項式で考えるなら、与えられた [式:…] に対し、
  * [式:…][式:…]次以上
  * [式:…]
を満たせばいいから:
    [式:…]
として
    [式:…]
とでもすればよい。これでいいかのチェックは考えてください。
平賀 譲 さん 2017/08/25 16:39:50 報告
6
すみません、皆様のおっしゃる通り間違いでした。

1の出典は
http://www.ams.org/journals/tran/1998-350-06/S0002-9947-98-01764-4/S0002-9947-98-01764-4.pdf
の Corollary 1.3. でした。(なんでこんなもの読んでるんだろうと思われそうですが…)

fが多項式であれば河合塾の大学受験用問題集などにもあります。
アンドロメダ さん 2017/10/16 16:17:49 報告
7
[式:…] は実数値連続として, [式:…] に属する [式:…] の境界点の個数が [式:…] 以下ならば,(符号が変わる点を縫うように作れば)
 [式:…]
となる高々 [式:…] 次の定数でない実係数多項式 [式:…] があり,[式:…] の性質により
 [式:…]
つまり,[式:…] となりますね.
honda さん 2017/10/27 19:06:44 報告
8
>>5
ルジャンドルの多項式ですね。

[式:…]

[式:…]

たしかにn次以下のすべての多項式と直交し、また(a,b)にn+1個以上の零点があります。

高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)
§36. Legendreの球函数
prime_132 さん 2017/10/28 23:27:22 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.7in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \begin{document} \begin{shadebox}   \\ \fbox{1}  $[a,b] \,\,\, (a<b)$ で連続な関数 $f(x)$ が、 \[ \int_{a}^{b} f(x) x^k \, dx =0 \,\,\,\, (k=1,2, \cdots n) \] をみたすとき、 $f(x)=0$となる実数$x$は $(a,b)$ に少なくとも $n+1$ 個存在することを示して下さい。\\    \end{shadebox} \bigskip \begin{shadebox}   \\ \fbox{2}  $m, n \, (m<n) $ は自然数、$a_k , b_k \, (k=m,m+1, \cdots , n) $は実数のとき、 \[ \sum_{k=m}^{n} \left( a_k \cos kx + b_k \sin kx \right) =0 \] をみたす実数$x$は$[0, 2 \pi )$に少なくとも$2m$個存在することを示して下さい。 \\    \end{shadebox} \end{document}