平均値の定理の練習

  • 公開日時: 2017/08/11 08:18
  • 閲覧数: 295
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
お邪魔します。
[1]
nについての帰納法によります。まず、

[式:…]

とおくと、F(a) = 0

また、p(x) を任意の n-1次以下の多項式とすると

[式:…]

はn次以下の多項式になります。題意より

[式:…]

[式:…](x=a,b) [式:…]
[式:…]  (← F(a)=P(b)=0)

∴ [式:…]

・n=1 のとき

[式:…]

F(x)は[a,b]で連続だから、平均値の定理より、
F(x)=0 となる実数xが (a,b) にある。

・n>1 のとき、
帰納法の仮定により、
F(x)=0 となる実数xが (a,b) にn個以上ある。

一方、F(a)= F(b)= 0,
これら n+2 個の零点のうち隣り合う2つを x_1, x_2 とする。
この区間でF(x)は連続微分可能だから、ロルの定理により、
[式:…] を満たす実数ξがある。
∴ f(x)=0 となる実数xが(a,b)にn+1個以上ある。
prime_132 さん 2017/08/16 13:40:35 報告
2
F(b)=0 はどこから出るのか?
題意に、k=0を含む?
クロニャンコ さん 2017/08/16 20:46:13 報告
3
>>2
題意にk=0の場合も含むと拡大解釈しました。

例)
k≧1 だけだと、
n=1、f(x) = (a+b)x - 2(aa+ab+bb)/3
なども題意を満たしてしまいます。
prime_132 さん 2017/08/17 13:27:30 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.7in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \begin{document} \begin{shadebox}   \\ \fbox{1}  $[a,b] \,\,\, (a<b)$ で連続な関数 $f(x)$ が、 \[ \int_{a}^{b} f(x) x^k \, dx =0 \,\,\,\, (k=1,2, \cdots n) \] をみたすとき、 $f(x)=0$となる実数$x$は $(a,b)$ に少なくとも $n+1$ 個存在することを示して下さい。\\    \end{shadebox} \bigskip \begin{shadebox}   \\ \fbox{2}  $m, n \, (m<n) $ は自然数、$a_k , b_k \, (k=m,m+1, \cdots , n) $は実数のとき、 \[ \sum_{k=m}^{n} \left( a_k \cos kx + b_k \sin kx \right) =0 \] をみたす実数$x$は$[0, 2 \pi )$に少なくとも$2m$個存在することを示して下さい。 \\    \end{shadebox} \end{document}