三角形の内接円の半径

  • 公開日時: 2017/07/24 18:30
  • 閲覧数: 603
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
お邪魔します。

正弦定理
 a = BC = 2R sin(A),
 b = CA = 2R sin(B),
 c = AB = 2R sin(C),
から面積は
 ⊿(A,B,C)= ab/2 sin(C) = 2RR sin(A)sin(B)sin(C),
また、
 a+b+c = 8R cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2),
∴内接円の半径は
 r(A,B,C)= 2⊿(A,B,C)/(a+b+c)= 4R sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),

ここで、積和公式
 sin(x)sin(y)={cos(x-y)-cos(x+y)}/2
 ≦{1 - cos(x+y)}/2
 ={sin((x+y)/2)}^2
を使って(*)、
 r(A,B,C)≦ r((B+C)/2,(C+A)/2,(A+B)/2)
= r(A',B',C')

(*)凸性からも出ます。
√{sin(x)sin(y)}≦{sin(x)+sin(y)}/2 ≦ sin((x+y)/2),

なお、a+b+c ≦ a'+b'+c' や ⊿(A,B,C)≦ ⊿(A',B',C') も同様にして出ます。
prime_132 さん 2017/07/31 17:09:31 報告
2
さすがです。
キャリアを感じます。
アンドロメダ さん 2017/07/31 20:23:25 報告
3
(蛇足)

本問の操作を何度も続けると、A、B、C はいずれもπ/3に収束します。(→正三角形)
A-(π/3)、B-(π/3)、C-(π/3)は公比(-1/2)の等比数列となり、0に収束します。

また >>1 にあるように、
 ⊿(A,B,C)→{(3√3)/4}RR,
 a+b+c → (3√3)R,
 r(A,B,C)→(1/2)R,
は単調に増加しますが、その幅は約 1/4 倍で減衰します。
prime_132 さん 2017/08/02 00:25:03 報告
4
さらなる考察を有難うございます。

簡単な性質ですが、あまり知られていない気がします。
アンドロメダ変換とでも呼ばせていただこうかしら??
アンドロメダ さん 2017/08/11 08:23:52 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{color} \usepackage{framed} \definecolor{shadecolor}{rgb}{1.0, 0.89, 0.88} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \usepackage{comment} \begin{document} $\triangle \rm{ABC}$と$\triangle \rm{A'B'C'}$は外接円の半径が同じで、さらに内角が \begin{eqnarray*} \rm{A'} = \frac{\pi - \rm{A} }{2} \\ \rm{B'} = \frac{\pi - \rm{B} }{2} \\ \rm{C'} = \frac{\pi - \rm{C} }{2} \end{eqnarray*} を満たしています。このとき、 \[ \triangle \rm{ABC} \text{の内接円の半径} \le \triangle \rm{A'B'C'} \text{の内接円の半径} \] であることを示して下さい。      \\  \\  \\ _________________________________\\ 色々計算していたら見つけました。\\ ものすごく地味ですが...計算練習にどうぞ。 \end{document}