入試に出そうな平方自由

  • 公開日時: 2017/06/07 00:07
  • 閲覧数: 504
  • コメント数: 2
  • カテゴリ: 入試・教育

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
Square-free number は日本語では「無平方数」で通じるみたいです。
実は無平方数に関する別の話題の記事を書いているところですが、中断中。
メビウス反転と関係します。

============
> 既に出題されているか?

私の知識は大したことないですが、見たことないです。

============
(1) で「[式:…] は十分大きい」、つまりは「[式:…] は十分大きい」というのは不要では?
   [式:…]  なら  [式:…]

だから、形式的に:
   [式:…]

とするので十分。
それとも [式:…] の下限を求めよ、という話でしょうか?(それだと難しそう)

(2) も
   [式:…]
でいいのでは?
   [式:…]  したがって  [式:…]

を認めてしまえば:
   [式:…]

あれ?意外と厳しいですね。実際には [式:…] ぐらいか(*)。まあ:
   [式:…]
      [式:…]
      [式:…]
      [式:…]
ではある。

(3) は (1), (2) を使って解け、ということでしょうか?すると「鳩ノ巣原理」かな。
別解もいろいろありそうです。

おっしゃるようにいろいろ試せて面白い問題ですね。問題構成も巧みです。

======
(*) 3以上の奇数の逆2乗和 [式:…] に対し、奇素数の逆2乗和は [式:…] より大きく、前者の[式:…]以上を占めているんだ。ちょっと意外。
平賀 譲 さん 2017/06/08 01:38:24 報告
2
コメント有り難うございます。

>無平方
いや~驚きました(自分の無知に)。ご指摘があってはじめて平方自由で検索しましたが、ほとんどhitしないですね。ずっと平方自由だと信じきっていました。たぶん昔、講義だか講演だかで誰かに聞いたのだと思いますが……。
手元にある整数論の本を見るとやはり、無平方や平方因子をもたない、となっていました(持っているだけでよく読んでいないのです)。

>[式:…]
一応、高校生も見るかな?という前提で書いているので……。高校では普通平方数の逆数和のような無限級数は出てこないので、たぶん、
  [式:…] を示せ
といった問題文には物言いがつく気がします。
ですので、(2)は[式:…]を使わずに、(1)と(2)は(3)のヒントなので、(1)と(2)のつながりを意識させるために(1)も[式:…]を使わずに同じ[式:…]で、ということにしました。
でも、この問題では収束するとかしないとかあんまり関係ないので(収束していようがいまいが、[式:…])、[式:…]を使ってすっきり書いた方が良い、というのはもっともです。

>[式:…]
小さい素数が多いのだと捉えました。
[式:…]くらいまでの素数で約[式:…]になりますね。

> 無平方数に関する別の話題の記事
楽しみにしています。
アンドロメダ さん 2017/06/09 10:27:25 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \begin{document} この問題、手頃な難度でありながら色んな数学的感覚を試すことができて、結論もちょっと面白いので、有名大学の入試に出てもおかしくないと思います(既に出題されているでしょうか?)。 \noindent \hrulefill \noindent $1$ より大きい平方数で割り切れない自然数を、平方自由な自然数と呼びます。\\ 素数を小さい方から $p_1 , p_2 , p_3 , \cdots , p_k , \cdots $ とします。\\ (1) 自然数 $n$ に対して、$1$ 以上 $n$ 以下にある平方自由な自然数の個数を $Q(n)$ とします。\\ また、$n$ に比べて素数 $p_k$ が十分大きいとします( $n < p_k^2 $ くらいで十分ですが…)。 \[ Q(n) \ge n - \sum_{i=1}^{k} \left[ \frac{n}{p_i^2} \right] \] を示して下さい。\\ (2) 自然数 $k$ に対して、 \[ \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{p_i^2} < \frac{1}{2} \] を示して下さい。\\ (3) $2$ 以上の自然数は $2$ つの平方自由な自然数の和で表せることを示して下さい。 \noindent \hrulefill \end{document}