京大対策(格子点の個数)

  • 公開日時: 2017/05/20 11:20
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  • カテゴリ: 入試・教育

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \begin{document} このところ京大は格子点を数えさせるのがお気に入りのようですから、以下の不等式による評価で手法を再確認していただけたらと思います(かなり基本的ですが…)。\\ \begin{itembox}[l]{\shadowbox{格子点の個数}} \noindent $p,q$ を正の実数とします。$xy$ 平面において 3本の直線 $\displaystyle \frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1, \, x=0, \, y=0 $ で囲まれる領域の内部および周上に存在する格子点の個数を $N(p,q)$ とすると、 \[ \left| N(p,q) - \frac{(p+1)(q+1)}{2} \right| \le \frac{3(p+q)}{4} + \frac{1}{2} \] が成り立つことを示して下さい。 \end{itembox} \\ \noindent ※ 言うまでもないことですが…、2017年度(用)京大入試において、\\ 理学部特色入試 $4$ 番は ${\displaystyle (p,q) = \left( n, \frac{n}{\sqrt{5}} \right) }$、 \\ 文系 $2$ 番(D難度らしい) は ${ \displaystyle (p,q) = \left( \frac{100}{\log_{10} 2} , \frac{100}{\log_{10} 5} \right) }$ です。\\ \noindent \hrulefill \\ 上の評価から、$x$ (大)以下で ${2^a 5^b}$ ($a,b$ は非負整数) の形をした整数は(大雑把に)何個くらいあるといえるでしょうか? \end{document}