Re:因数分解

  • 公開日時: 2017/05/10 23:25
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  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 入試・教育

解答を作ってみました。

問題 [式:…]が整数係数の範囲で因数分解できるような自然数nで最も小さいものを求めよ。

解答) [式:…]・・・・・・① とおく.。

(ア) [式:…]が一次式を因数に持つとき,

     [式:…] [式:…]は整数

展開して

[式:…]・・・・・・②

①と②の係数を比較すると,

      [式:…]

     これらの式から,[式:…]

     [式:…]は,[式:…]で単調増加であるから, 自然数[式:…]で最も小さいものは,[式:…]のときで,[式:…]

(イ) [式:…]が2次式と3次式に因数分解できるとき,

     [式:…] [式:…]は整数

[式:…]・・・・・・③

①と③の係数を比較すると,

      [式:…]

     整理して [式:…] [式:…]を消去して

[式:…]

      [式:…] [式:…]は整数より

(ⅰ) [式:…]のとき,[式:…] [式:…]となり[式:…]は自然数であるから不適。

(ⅱ) [式:…]のとき,[式:…]または[式:…] [式:…]のとき[式:…]となり[式:…]は自然数であるから不適。

[式:…]よって[式:…]

   (ⅲ) [式:…]のとき,[式:…]または[式:…] [式:…]のとき[式:…]となり[式:…]は自然数であるから不適。

         [式:…] よって,[式:…]となり不適。

(ⅳ)[式:…]のとき, [式:…]で整数でないから[式:…]は整数でない。よって不適。

(ⅴ)[式:…]のとき,[式:…]で整数でないから[式:…]は整数でない。よって不適。

(ⅵ)[式:…]のとき,[式:…] [式:…]

ゆえに [式:…]

(ア)(イ)より 求める最小の自然数はn=15

 

 以上のように考えましたが,後半もたつきました。もう少しすっきりできるでしょうか?

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
> 以上のように考えましたが,後半もたつきました。もう少しすっきりできるでしょうか?

私も同じように解きました。「後半部分」についてはそもそもちゃんとはやってません。クロニャンコさん以上に頑張る必要があるかですが、あえて頑張るなら。

[式:…] とします。
まず簡単な考察により、
   [式:…]
は実解を1つしか持ちません。したがって
   [式:…]
は実解を持たないので:
   [式:…] したがって [式:…] つまりは [式:…]
次に
   [式:…]
より [式:…] は互いに素、したがって [式:…] の一方は [式:…]以上、他方は [式:…] 以上です。したがって
   [式:…]
において [式:…] が成り立つためには [式:…][式:…] でなければならない。
前者は [式:…]、後者は [式:…] でなければ [式:…] の範囲に収まらないが、いずれも不可。これはクロニャンコさんの (iv), (v) でもいいし:
  [式:…]
に直接代入するのでもよい。

なんか大差ないですね。むしろこっちのほうが複雑かも。

平賀 譲 さん 2017/05/11 11:29:53 報告
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お二人とも有難うございます。

私が昔この問題を思いついたときのノートを見ると、
[式:…]
ペル方程式 [式:…] の解は [式:…] で与えられる
とだけあるのですが、よく再考してみるとこの情報はあまり役に立たないようです。

どう解いても、細々としたチェックが必要になる気がします。
お二人の解で勉強させていただいた感じです。

当時の私は「お、15があるじゃん」というのが面白いと思っていたのだと思います。
アンドロメダ さん 2017/05/11 18:04:56 報告
3
平賀先生,アンドロメダさん

コメントありがとうございます。
クロニャンコ さん 2017/05/11 19:53:48 報告