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Re:因数分解
クロニャンコ さん
- 公開日時: 2017/05/10 23:25
- 閲覧数: 723
- コメント数: 3
- カテゴリ: 入試・教育
解答を作ってみました。
問題 が整数係数の範囲で因数分解できるような自然数nで最も小さいものを求めよ。
解答） ・・・・・・① とおく.。
(ｱ) が一次式を因数に持つとき,
は整数
展開して
・・・・・・②
①と②の係数を比較すると,
これらの式から,
は,
で単調増加であるから, 自然数
で最も小さいものは,
のときで,
(ｲ) が２次式と３次式に因数分解できるとき,
は整数
・・・・・・③
①と③の係数を比較すると,
整理して
を消去して
は整数より
(ⅰ) のとき,
となり
は自然数であるから不適。
(ⅱ) のとき,
または
のとき
となり
は自然数であるから不適。
よって
(ⅲ) のとき,
または
のとき
となり
は自然数であるから不適。
よって,
となり不適。
(ⅳ)のとき,
で整数でないから
は整数でない。よって不適。
(ⅴ)のとき,
で整数でないから
は整数でない。よって不適。
(ⅵ)のとき,
ゆえに
(ｱ)(ｲ)より 求める最小の自然数はn=15
以上のように考えましたが,後半もたつきました。もう少しすっきりできるでしょうか?
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| No | 投稿者 | 日時 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | > 以上のように考えましたが,後半もたつきました。もう少しすっきりできるでしょうか? 私も同じように解きました。「後半部分」についてはそもそもちゃんとはやってません。クロニャンコさん以上に頑張る必要があるかですが、あえて頑張るなら。 まず簡単な考察により、 は実解を１つしか持ちません。したがって は実解を持たないので： 次に より において 前者は に直接代入するのでもよい。 なんか大差ないですね。むしろこっちのほうが複雑かも。 |
平賀 譲 さん | 2017/05/11 11:29:53 | 報告 | |
| 2 | お二人とも有難うございます。 私が昔この問題を思いついたときのノートを見ると、 ペル方程式 とだけあるのですが、よく再考してみるとこの情報はあまり役に立たないようです。 どう解いても、細々としたチェックが必要になる気がします。 お二人の解で勉強させていただいた感じです。 当時の私は「お、15があるじゃん」というのが面白いと思っていたのだと思います。 |
アンドロメダ さん | 2017/05/11 18:04:56 | 報告 | |
| 3 | クロニャンコ さん | 2017/05/11 19:53:48 | 報告 |