二次方程式の解の規則性(mod p)

  • 公開日時: 2017/05/07 08:51
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

 

 

これからx^2-bx-a=0(mod p)という方程式の解を考える。pは素数、a,bpと互いに素な整数とする

 

整数解が出る場合のみ考えることにする

 

aをある値に固定し、bを動かすと、aが平方数でないとき1からp-1までのすべての整数が一度ずつ解に出る

また、aが平方数のとき、±√a以外の1からp-1までの整数が一度ずつ解に出る。

 

bをある値に固定し、aを動かすと、b以外の0でない整数が一度ずつ解に出る。

 

と予想した

 

 

 

①の例を挙げると

 

p=11,a=1のとき

 

x^2-x-1=0,x^2-4x-1=0,x^2-7x-1=0,x^2-10x-1=0(mod 11)をそれぞれ解くと、

 

2,3,4,5,6,7,8,9が出、±1以外の1からp-1までの整数が解に出た

 

p=11,a=2のとき

 

x^2-x-2=0,x^2-2x-2=0,x^2-5x-2=0,x^2-6x-2=0,x^2-9x-2=0,x^2-10x-2=0(mod 11)をそれぞれ解くと、

 

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10が出、1からp-1までの整数が解に出た

 

ちなみに、pが4n-1型の素数のとき

aが平方数でないときは、aが平方数のときよりも、整数解を持つ方程式の数が2個多くなるようである

 

また、aが平方数でないとき、重解を持つ方程式が存在するようである(今回はx^2-5x-2=0(mod 11)x=8という重解を、x^2-6x-2=0(mod 11)x=3という重解を持っている)

 

 

p4n+1型の素数のとき

 

aが平方数だろうと非平方数だろうと関係なく整数解を持つ方程式の数は同じだが、

aが平方数のとき、重解を持つ方程式が存在するようである


重解のxの値は、±√(-a)になっていそうだ。つまり重解のxのふたつの値を掛け合わせるとaになる

 

 

 

②の例を上げると、

 

p=11,b=5のとき

 

x^2-5x-2=0,x^2-5x-3=0,x^2-5x-5=0,x^2-5x-6=0,x^2-5x-7=0(mod 11)をそれぞれ解くと

 

1,2,3,4,6,7,8,9,10が出、5以外、つまりb以外の0でない整数が解に出た

 

 

 

証明できてないので、できる方いたらお願いします

 

(間違いがあったので修正しました。)

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
今気づいたのですが、
aについて考えるときはb=0の場合を考えると0以外のすべての整数が、
bについて考えるときはa=0の場合を考えるとすべての整数が必ず出ることになりますね

例えば、p=11,a=1のとき、±1以外の数が出た、と書いていますが、
b=0,つまりx^2-1=0を考えると、これの解は±1なので、
b=0の場合も考えることにするとaが平方数かどうか関係なしにすべての数が解に出ます

また、p=11,b=5のとき5(つまりb)と0以外の数が出ると書いていますが
a=0,つまりx^2-5x=0を考えるとこれの解は0,5なのですべての解が出ます

上記のコメントとは関係なく、二次以上の方程式でもこのように綺麗にすべての整数が出たら面白いなと思いますが、出るのでしょうか?知っている方いたら教えてください
水宮うみ さん 2017/06/25 14:43:13 報告