ありがちな問題ですが・・・数列、漸化式、極限

  • 公開日時: 2017/05/06 12:41
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  • カテゴリ: 入試・教育

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
問題間違ってませんか?(収束しないみたいだけど)
平賀 譲 さん 2017/05/06 19:32:56 報告
2
すみません、確認します…
アンドロメダ さん 2017/05/06 20:08:52 報告
3
(2) コタエ  (4 E^2)/(1 + E^2)

3.52318831191152977623891656520958718082553719451587310319362100024391

https://www.youtube.com/watch?v=wq3e-6EdmoQ
@t さん 2017/05/06 20:46:02 報告
4
むむむ…
アンドロメダ さん 2017/05/06 21:01:31 報告
5
> 問題間違ってませんか?(収束しないみたいだけど)

大変申し訳ありません。
Excel その他で実数計算で [式:…] を求めてみたのですが、計算誤差が蓄積して変な振る舞いをしていたようです。
記号計算に変更したらちゃんと単調減少になりました。

にしても、あっという間に計算誤差が蓄積しますねえ。恐ろしいものだ。
平賀 譲 さん 2017/05/06 21:57:47 報告
6 @t さん 2017/05/07 08:23:59 報告
7
>>6
> 酷似問題

[式:…]

のとき、

[式:…]
アンドロメダ さん 2017/05/09 19:00:20 報告
8
しょっちゅう見かけるものであるさま の 意 なら
もっと 沢山 酷似問題を お願いします。

ところで 今回の a(n) = _____。<---明記願います。

@t さん 2017/05/10 17:31:45 報告
9
酷似問題その2。

アンドロメダさんの >>7 の [式:…][式:…] に変える(だけ)。
このほうが問題としてはだいぶ易しいだろうし、そもそも [式:…] を明示的に求められる。

その1、その2から元問題も解ける?というわけにもいかないか。

元問題に戻ると、いみじくも私のチョンボが示しているように、初期値がちょっと変わるだけでも発散しちゃいます。したがって生半可な大小評価では手に負えず、ピンポイントで精密に考える必要がある。

にしても、受験レベルで解けるかなあ。私の解法が悪いだけ?
平賀 譲 さん 2017/05/10 23:08:59 報告
10
ヒントです。
(見たくない場合は今すぐ目を瞑ってください…)

この問題は、次の東工大過去問の(1),(2)を解いているときに思いつきました。
http://suseum.jp/pq/question/873
東工大問では最初に積分が与えられていますが、むしろ、積分を隠しておいて3項間漸化式から単調減少を示したほうが面白いのではないか?と思いまして…
実際やってみると、数学的帰納法でなんとかなる感じではないのです(多分)。
そこで、きっちりとした一般項ではないとはいえ積分で表せると色んな性質が分かるんだな、と思いつつ、これを問題にしてみようと考えました。

ただ、受験数学ウォッチャーにはあまりにも有名すぎる積分(東工大の他に京大、早稲田にも出題あり)なので、東工大と同じ3項間漸化式にするわけにはいかぬ。目くらましのため私の出題した問題では被積分関数を少し弄りました。初項も 1 になるように定数をかけています。

酷似問題その1とその2から元問題が解けるのではなくて、元問題から酷似問題その2を経由しつつ酷似問題その1(>>7)が解けるはずです。
アンドロメダ さん 2017/05/10 23:23:45 報告
11
> 数学的帰納法でなんとかなる感じではないのです(多分)。

無理でしょうね。少なくとも「[式:…] では単調減少かつ正であり、そこから [式:…] でも成り立つ」程度のやり方ではどうしようもない(というか、できない)。

[式:…] だけでなく、[式:…] も本質的な役割を果たしているので、それを直接使わなければならない。その1つの表れとして、一般に次が成り立ちます。
   [式:…]

> 積分で表せると色んな性質が分かるんだな、と思いつつ、これを問題にしてみようと考えました。

積分から漸化式を導くのはまだしも、漸化式から積分を見抜くのは「逆問題」を解くことになり、段違いに難しいでしょう(ヒントとか誘導なしではできそうにない)。

=================
元問題と酷似問題その1、その2とのつながりについて。

> 初項も 1 になるように定数をかけています。

これの逆をやって元に戻したほうが簡明。
   [式:…]
に対し、漸化式は線型だから分母を払って(=定数倍して):
   [式:…]
   [式:…]
としても収束の如何とかは変わらない。さらに線型だから:
   [式:…]
と置けば、[式:…][式:…] と同じ漸化式を満たし、
   [式:…]
   [式:…]
つまり [式:…] がその1、[式:…] がその2の数列です。

[式:…] はともに激しく正負を振動して発散しますが、[式:…] においてはそれが絶妙に打ち消しあって収束する、という次第。

その1、その2は [式:…] を使って直接示せます([式:…] のテイラー級数を含む形が作れる)。さらに「絶妙に打ち消しあう」部分の処理ができれば [式:…] も得られるのですが。
平賀 譲 さん 2017/05/11 17:54:37 報告
12
コメント有り難うございます。

>その1、その2は [式:…] を使って直接示せます([式:…]のテイラー級数……

元の問題から示すことばかり考えていました。([式:…] ならば、 [式:…] だろう、という感じで)
なるほど、直接示せるということは、元の問題も使って
  [式:…]
であることが、"完全に高校の範囲で"示せる、ということになるんですね(当たり前でしたっけ…?)
アンドロメダ さん 2017/05/11 22:07:01 報告
13
> 直接示せるということは、元の問題も使って...... "完全に高校の範囲で"示せる

そうだとしても、かなりもって回った方法になりますね。もっと簡単かつ標準的な方法はいろいろありそうです。

============
こちらの解答の概略を記しておきます。「相当に」泥臭いです。

まず >>11 の (*)(下に再掲):
   [式:…]
これは漸化式:
   [式:…]
[式:…] についての総和をとれば得られます。間の項がうまく打ち消しあって(telescoping)、[式:…] が残ります。

次に [式:…] を順次適用していくと:
   [式:…]
   [式:…]
   [式:…]
      [式:…]
   [式:…]

以下も同様です。ここで [式:…] のテイラー展開(と言うのかな、[式:…] のテイラー展開で [式:…] としたもの)の各項を [式:…]、部分和を [式:…] と書きます:
   [式:…]

上で展開してきた式の [式:…] との積になっていっている項は:
   [式:…]
   [式:…]
   [式:…]
以下も同様で [式:…] を括り出すと:
   [式:…]

つまり [式:…] の第3項以降が出てきます。
   [式:…]
は打ち消しあうのでそれも加えて整理すると結局:
   [式:…]

となって [式:…] の表示が得られます。

=========
ここまでは一般の [式:…] に成り立つ話で、これに具体的な値:
   [式:…] (原問題の [式:…]倍)
また:
   [式:…]
として
   [式:…] (酷似問題その1)
   [式:…]  (酷似問題その2)
[式:…] に適用します。

[式:…] が一番簡単で、[式:…] だから:
   [式:…]

[式:…][式:…] だから:
   [式:…]

[式:…][式:…] を使っても、直接 [式:…][式:…] に使っても同じで:
   [式:…]

酷似問題その2は:
   [式:…]
だから [式:…] の極限も当然 [式:…]
酷似問題その1は:
   [式:…]

注: >>12 でアンドロメダさんが [式:…] と書かれたのは、私が >>11 で最初、[式:…] と誤記したのに引きずられたのでしょう。[式:…] のように、[式:…] です。

=========
最後に [式:…] について、[式:…][式:…] だから [式:…]、と言いたいところですが、[式:…] なので、このままでは [式:…] の不定形です。したがってちゃんと大小評価をする必要があります。

[式:…] は交代級数であり、[式:…] は([式:…] では)単調減少なので、極限値 [式:…][式:…][式:…] の間にあります。したがって:
   [式:…]
実際の誤差はこれよりは小さいですが(とはいえ、最初に書いた「半分程度」はウソ)、それはともかくとして、これから
   [式:…]
      [式:…]
したがって [式:…] のとき [式:…] です。これはまた、
   [式:…]
であることも示唆しています。実際、簡単な回帰計算を行うと:
   [式:…]
が非常によい近似になっています。

===========
元問題に戻って、問(2) の [式:…] は、[式:…] が得られれば [式:…] から簡単に求められます(ただし元問題に合わせるには、ここまでの計算結果を [式:…] で割る必要がある)。
ちなみに [式:…] に出てきた [式:…] が本問の答で、これは [式:…] が単に上からの不等式評価としてだけでなく、[式:…] の近似評価でもあることを示していますし、[式:…] の回帰式における係数 [式:…] は:
   [式:…]
で、これがよい近似となる所以が見て取れます。

最後に問 (1) の「[式:…] は単調減少」ですが、うーん、これ、
   [式:…]
のいずれを示そうにもなんか面倒ですねえ。とりあえずパス。
もちろん、アンドロメダさんの積分表示:
   [式:…]
[式:…] は伏せておきます)からは、単調減少は自明にわかります([式:…] は([式:…] では)[式:…] について単調減少だから)。
平賀 譲 さん 2017/05/13 00:11:30 報告
14
> 「[式:…] は単調減少」

概略を示しておきます。その前に:
   [式:…]
だから、
   [式:…]
ではある。

   [式:…]

ここで
   [式:…]

だから、変形・整理することにより:
   [式:…]
      [式:…]

これが負であることは容易にわかります。
平賀 譲 さん 2017/05/13 23:44:03 報告
15
詳しく有難うございます。とても分かりやすいです。

なんとなく (*) の式(積分だと部分積分)しか武器はないと思っていましたが、積分抜きでも
  [式:…]
との比較でここまで精密に解析できるのですね。

初期値を [式:…] として、

   [式:…]

とするとやや簡単と思います。
アンドロメダ さん 2017/05/14 10:24:48 報告
16
蛇足。
私とアンドロメダさんとで積分の上端が [式:…] と違ってますが、置換積分で相互に変換できるので実質的には同じです。
なんて思わせぶり書かずに実際の式を書いてしまうべきか?
平賀 譲 さん 2017/05/15 02:54:57 報告
17
追記。
>>13 の [式:…] あたりについて、項数を増やして評価すると(ちゃんと検算してないけど):
   [式:…]
が成り立つ(はず)。

そうであれば「[式:…] は単調減少」は明らかです:
   [式:…]
[式:…] に相当する評価は:
   [式:…]
ぐらい。ただし [式:…] が小さいときの誤差が影響しているので、実際にはもっと [式:…] に近いはず。
平賀 譲 さん 2017/05/16 13:59:33 報告
18
あんまり自信ないですが、きっかり [式:…] なのでは?
アンドロメダ さん 2017/05/16 20:00:13 報告
19

すみません、単純に考えすぎていました。。。
アンドロメダ さん 2017/05/16 21:20:01 報告
20
やはり [式:…] かな?
以下むちゃくちゃな推論ですが、[式:…] は大きいとして、積分は(もう書いちゃいますね)置換すると、
[式:…]

一方、平賀先生の書かれた近似式は

[式:…]

となるので、[式:…]

つまり、
[式:…]
となるのだろうか?


[式:…]
も興味あるところですが、計算が…
アンドロメダ さん 2017/05/16 22:50:52 報告
21
>>18
> あんまり自信ないですが、きっかり [式:…] なのでは?

そんな感じです。たぶんそれで正しいです。

# すみません、>>20 と入れ違いになっちゃいました。

まだちゃんとチェックはしていませんが:
   [式:…]
     [式:…]
     [式:…]

カッコ内の部分和を [式:…] とします。
   [式:…]
   [式:…]
   [式:…]
といった次第。これを [式:…] がどれだけよく近似するかを見たいわけです。そこで [式:…] を作ると、通分して分母は [式:…] となり、分子を [式:…] とすると、[式:…] は最高次が(たかだか)[式:…]次である [式:…] の多項式で:
   [式:…]
[式:…] のときは [式:…] の項の係数は [式:…] になり、次数が [式:…] に下がって:
   [式:…]

これはつまり:
(1) [式:…] は他の [式:…] に比べて桁違いに良い [式:…] の近似であること
  (誤差は [式:…] のオーダー、他は [式:…]
(2) ([式:…] の低次の項の影響がなければ)[式:…] であること
(3) 同様に [式:…] であること

を意味しています。上では [式:…] が自然数の場合しか扱っていませんが、一般の実数としても [式:…] が最善であることはまあ明らかでしょう。

追記: (2), (3) をもう少しちゃんとやるなら。
まず (3) のほうは:
   [式:…]
[式:…] の各項は絶対値が単調減少して正負を振動し、上を正にはできないので:
   [式:…] つまり [式:…]
同様に (2) は:
   [式:…]
で、やはり [式:…] の各項ではこれを負にはできないので
   [式:…] つまり [式:…]
になります。

=================
上の関係は [式:…] の分子の [式:…][式:…] に一般化した:
   [式:…]
に拡張でき、このとき [式:…] は:
   [式:…]
   [式:…]
が成り立ちます。

====================
積分も書かれたので、こちらのバージョンは(元問題にあわせれば):
   [式:…]
です。[式:…] に注意すれば相互の変換は容易でしょう。
平賀 譲 さん 2017/05/16 23:08:39 報告
22
有り難うございます。
[式:…]
[式:…]
になる由、納得しました。これが都合のよいことも了解しました。
このようなことからも [式:…] が見えるものなんですね 。

また、こんな方法( [式:…] のような美しい評価)で [式:…] の単調減少が示されるとは全く想像もしていませんでした。
(>>14の一般項から直接導いておられるのも「まさか…!!」とは思いましたが…。)
アンドロメダ さん 2017/05/18 14:32:02 報告
23
> こんな方法 .... で [式:…] の単調減少が示されるとは全く想像もしていませんでした。

私も全く同じ感想です。
書いている経過を見ていただければわかるように、いろいろいじっているうちにヒョコヒョコいろいろ見つかってきて面白かったです。こちらこそありがとうございました。

最初の >>1(のチョンボ)から、思えば遠くに来たものだ。
平賀 譲 さん 2017/05/18 21:07:43 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \begin{document} \noindent ある大学の入試問題を解いているときに、ふと問題を思いつきました。 \noindent \hrulefill \\ \noindent 数列 $ \{ a_n \}_{n=1,2,3,...} $ を、漸化式 \begin{eqnarray*} &a_1& = 1 \\ &a_2& = \tanh 1 = \frac{e-e^{-1}}{e+e^{-1}} \\ &a_{n+2}& \,\,\, = \, - \,\, \frac{n}{2} a_{n+1} + \frac{n+1}{2} a_{n} \,\,\,\,\, (n \ge 1) \end{eqnarray*} で定めます。\\ (1) $ \{ a_n \} $ は単調減少であることを示して下さい。( $ a_1 > a_2 > a_3 > \cdots $ ) \\ (2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n a_n $ を求めて下さい。\\ \noindent \hrulefill \\ \noindent 色々弄っているうちに普通の問題になってきたので、受験生の方でも解けると思います(?)。\\ (1) をどのように解かれたか興味あります。感想をお聞かせ下さい。 \end{document}