ありがちな問題ですが・・・数列、漸化式、極限

  • 公開日時: 2017/05/06 12:41
  • 閲覧数: 760
  • コメント数: 23
  • カテゴリ: 入試・教育

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14
> 「[式:…] は単調減少」

概略を示しておきます。その前に:
   [式:…]
だから、
   [式:…]
ではある。

   [式:…]

ここで
   [式:…]

だから、変形・整理することにより:
   [式:…]
      [式:…]

これが負であることは容易にわかります。
平賀 譲 さん 2017/05/13 23:44:03 報告
15
詳しく有難うございます。とても分かりやすいです。

なんとなく (*) の式(積分だと部分積分)しか武器はないと思っていましたが、積分抜きでも
  [式:…]
との比較でここまで精密に解析できるのですね。

初期値を [式:…] として、

   [式:…]

とするとやや簡単と思います。
アンドロメダ さん 2017/05/14 10:24:48 報告
16
蛇足。
私とアンドロメダさんとで積分の上端が [式:…] と違ってますが、置換積分で相互に変換できるので実質的には同じです。
なんて思わせぶり書かずに実際の式を書いてしまうべきか?
平賀 譲 さん 2017/05/15 02:54:57 報告
17
追記。
>>13 の [式:…] あたりについて、項数を増やして評価すると(ちゃんと検算してないけど):
   [式:…]
が成り立つ(はず)。

そうであれば「[式:…] は単調減少」は明らかです:
   [式:…]
[式:…] に相当する評価は:
   [式:…]
ぐらい。ただし [式:…] が小さいときの誤差が影響しているので、実際にはもっと [式:…] に近いはず。
平賀 譲 さん 2017/05/16 13:59:33 報告
18
あんまり自信ないですが、きっかり [式:…] なのでは?
アンドロメダ さん 2017/05/16 20:00:13 報告
19

すみません、単純に考えすぎていました。。。
アンドロメダ さん 2017/05/16 21:20:01 報告
20
やはり [式:…] かな?
以下むちゃくちゃな推論ですが、[式:…] は大きいとして、積分は(もう書いちゃいますね)置換すると、
[式:…]

一方、平賀先生の書かれた近似式は

[式:…]

となるので、[式:…]

つまり、
[式:…]
となるのだろうか?


[式:…]
も興味あるところですが、計算が…
アンドロメダ さん 2017/05/16 22:50:52 報告
21
>>18
> あんまり自信ないですが、きっかり [式:…] なのでは?

そんな感じです。たぶんそれで正しいです。

# すみません、>>20 と入れ違いになっちゃいました。

まだちゃんとチェックはしていませんが:
   [式:…]
     [式:…]
     [式:…]

カッコ内の部分和を [式:…] とします。
   [式:…]
   [式:…]
   [式:…]
といった次第。これを [式:…] がどれだけよく近似するかを見たいわけです。そこで [式:…] を作ると、通分して分母は [式:…] となり、分子を [式:…] とすると、[式:…] は最高次が(たかだか)[式:…]次である [式:…] の多項式で:
   [式:…]
[式:…] のときは [式:…] の項の係数は [式:…] になり、次数が [式:…] に下がって:
   [式:…]

これはつまり:
(1) [式:…] は他の [式:…] に比べて桁違いに良い [式:…] の近似であること
  (誤差は [式:…] のオーダー、他は [式:…]
(2) ([式:…] の低次の項の影響がなければ)[式:…] であること
(3) 同様に [式:…] であること

を意味しています。上では [式:…] が自然数の場合しか扱っていませんが、一般の実数としても [式:…] が最善であることはまあ明らかでしょう。

追記: (2), (3) をもう少しちゃんとやるなら。
まず (3) のほうは:
   [式:…]
[式:…] の各項は絶対値が単調減少して正負を振動し、上を正にはできないので:
   [式:…] つまり [式:…]
同様に (2) は:
   [式:…]
で、やはり [式:…] の各項ではこれを負にはできないので
   [式:…] つまり [式:…]
になります。

=================
上の関係は [式:…] の分子の [式:…][式:…] に一般化した:
   [式:…]
に拡張でき、このとき [式:…] は:
   [式:…]
   [式:…]
が成り立ちます。

====================
積分も書かれたので、こちらのバージョンは(元問題にあわせれば):
   [式:…]
です。[式:…] に注意すれば相互の変換は容易でしょう。
平賀 譲 さん 2017/05/16 23:08:39 報告
22
有り難うございます。
[式:…]
[式:…]
になる由、納得しました。これが都合のよいことも了解しました。
このようなことからも [式:…] が見えるものなんですね 。

また、こんな方法( [式:…] のような美しい評価)で [式:…] の単調減少が示されるとは全く想像もしていませんでした。
(>>14の一般項から直接導いておられるのも「まさか…!!」とは思いましたが…。)
アンドロメダ さん 2017/05/18 14:32:02 報告
23
> こんな方法 .... で [式:…] の単調減少が示されるとは全く想像もしていませんでした。

私も全く同じ感想です。
書いている経過を見ていただければわかるように、いろいろいじっているうちにヒョコヒョコいろいろ見つかってきて面白かったです。こちらこそありがとうございました。

最初の >>1(のチョンボ)から、思えば遠くに来たものだ。
平賀 譲 さん 2017/05/18 21:07:43 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \usepackage{ulem} \begin{document} \noindent ある大学の入試問題を解いているときに、ふと問題を思いつきました。 \noindent \hrulefill \\ \noindent 数列 $ \{ a_n \}_{n=1,2,3,...} $ を、漸化式 \begin{eqnarray*} &a_1& = 1 \\ &a_2& = \tanh 1 = \frac{e-e^{-1}}{e+e^{-1}} \\ &a_{n+2}& \,\,\, = \, - \,\, \frac{n}{2} a_{n+1} + \frac{n+1}{2} a_{n} \,\,\,\,\, (n \ge 1) \end{eqnarray*} で定めます。\\ (1) $ \{ a_n \} $ は単調減少であることを示して下さい。( $ a_1 > a_2 > a_3 > \cdots $ ) \\ (2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n a_n $ を求めて下さい。\\ \noindent \hrulefill \\ \noindent 色々弄っているうちに普通の問題になってきたので、受験生の方でも解けると思います(?)。\\ (1) をどのように解かれたか興味あります。感想をお聞かせ下さい。 \end{document}