四半世紀(その1)

  • 公開日時: 2017/05/17 15:09
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  • コメント数: 8
  • カテゴリ: 入試・教育

#長くて、要領を得ない質問になってしまいました…

 

四半世紀前に、某数学月刊誌の裏表紙(表4)に掲載されていた某数理専門塾の広告の中の問題です。

(「本質」を理解していれば30秒で解ける問題です、と書かれていたと思います。)

 

20年来.gif 

 

本質を全く理解していなかった私は、力づくの計算をした解答を送付したところ、

「これでは30秒では解けませんね」というコメントとともに、模範解答を頂いたのですが、

解答の内容を理解できず、その解答も紛失してしまいました。

 

大学受験が終わってからも、ずっとこの問題の「本質」が気になっておりまして、

気付けば、四半世紀が過ぎ去っておりました…

 

最近、某数学月刊誌のバック・ナンバーの特集記事を目にして、

少しは理解が進んだのですが、その内容で御指導いただければ幸甚でございます。

(当時頂いた(と思われる)解答は、次の投稿でご指導を仰ぎたく…)

 

同じ問題を同誌の別記事で発見しました。 解答(途中まで)は、

解答1.png 

となっておりました。

 

ここで、質問なのですが、㋐と㋒が等しいのは、それぞれの面積が

[式:…]

で求めることができ、「式が同じだら、面積が同じと分かる」という理解でよろしいでしょうか?

 

別の記事(ちょっと内容は違うのですが)

疑問.gif 

を読んで、

「式から」分かるのではなく、「図形(の形状)から」同じ面積だと分かるのかな?

というところで、行き詰っていました。

 

下線部に引っ掛かりました…

こちらの記事でも、1°も2°ともに、[式:…] なので、

「式から」は同じと理解できるのですが…

 

話を更に迷走させるたとえ話かもしれませんが、↓で△ABCと△ABDの面積が等しいのは、

たとえ話.gif 

図形として視認して等しいと分かるのではなく(ガバリエリの原理で等しいのでしょうが)

底辺と高さが等しいから面積が等しいと分かる、ということと同じかなと感じております。

 

投稿しようかしまいか、迷いましたが、25年の重荷(?)を下ろしたくて

まずは、投稿させていただきますm(_ _)m

 

 

 

 

 

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
> 、「式が同じだら、面積が同じと分かる」という理解でよろしいでしょうか?

そうです、とは言えるでしょうが、それが何か問題なのでしょうか?

> 「式から」分かるのではなく、「図形(の形状)から」同じ面積だと分かるのかな?
> というところで、行き詰っていました。

どちらでもいいじゃない、というわけにはいきませんか?
「式から」、「図形から」という異なる方法で同じことがわかるというのはそれ自身、すばらしいことだと思いますが。

もちろんその背景として、放物線のいろいろな性質、例えば:
 ・放物線の式に1次関数を加えても元の放物線と合同である
 ・すべての放物線は互いに相似である
等々といった知識を身につけていくべきですが。

> ガバリエリの原理で等しいのでしょうが

「ガバリエリ」ではなく「カバリエリ (Cavalieri)」です。
昔、偉い先生が「ガバリエリ」と間違えていたこともあったので、そう間違えるネタ本でもあるんですかね?

ちなみにカバリエリは、ニュートン・ライプニッツによる微積分学が確立される前の人です。カバリエリの原理は、積分の言葉に直してしまえば:
 区間 [式:…][式:…] なら
   [式:…]
といったようなかなり身も蓋もない表現にはなります。
平賀 譲 さん 2017/05/21 23:39:13 報告
2 @t さん 2017/05/22 15:24:41 報告
3
『大学への数学』最新号(2017年6月号)の pp.56-57 大数ゼミノート:
  伊香匡史:「放物線の相似とグラフのひきざん」
にまさにここで取り上げられている話題が扱われていますので、是非参照なさってください。
平賀 譲 さん 2017/05/23 21:28:49 報告
4
平賀先生

コメントとご指導、ありがとうございます。
仕事が立て込んでおり、メッセージに気づくのが遅くなりましたm(_ _)m

> どちらでもいいじゃない、というわけにはいきませんか?
>「式から」、「図形から」という異なる方法で同じことがわかるというのは
> それ自身、すばらしいことだと思いますが。

ご指摘を頂戴して気付きました。 「式から」理解することは力技(単なる計算)で、「図形から」理解しないと問題の「本質」を把握できていない、という思い込みがあったと思います。(「本質」とは何ぞや、というお問いかけもあろうかと存じますが…)

> ・放物線の式に1次関数を加えても元の放物線と合同である

これも、平方完成すれば放物線をx軸方向、y軸方向に平行移動したことは
「式から」理解できるが、放物線f(x)と直線g(x)のグラフを描いて f(t)+g(t)=h(t)をプロットしていくと、h(x)が放物線になることを「図形から」わからない… という「どちらでもいい話」にハマってしまいます。
(ただ、今般、先生のご指摘を受けて、少し腹落ちした感じもございますので、自分が何を理解できていない(いなかった)のか、考えてみますね。)


> 「ガバリエリ」ではなく「カバリエリ (Cavalieri)」です。
> 昔、偉い先生が「ガバリエリ」と間違えていたこともあったので、そう間違
> えるネタ本でもあるんですかね?

汗顔の至りでございます(泪)(穴があったら入りたいです…)
ご指摘、ありがとうございますm(_ _)m

フォントによっては、濁音、半濁音が見づらいものございますので、
初見で見間違えて、そのまま認識してしまったと思います…
(英語記載があれば気付いたのでしょうが >言い訳)


> といったようなかなり身も蓋もない表現にはなります。

ありがとうございます。 こちらも自分の頭で考えないといけないですね。
明日の朝も早いので、まずは御礼までm(_ _)m
(もう一つの投稿へのコメントも、ありがとうございます。週末に時間を見つけて確認させていただきますね。)
おすまん さん 2017/05/24 03:14:31 報告
5
@tさま

サイトのご案内、誠にありがとうございますm(_ _)m
とりいそぎ、御礼まで。
おすまん さん 2017/05/24 03:17:05 報告
6
>「オレのボス ヤフーでググれと 無理を言う」

                     ググり;
>一辺10cmの正方形に1/4の円が4個重なっています.この真ん中の緑の部分の面積を求めよ;

http://www.aspenmesa.com/blog/796

        【違反】と 叩かれても
        
差 Sqrt[100-x^2]-(10-Sqrt[100-x^2])を

   5 KARA 5 Sqrt[3]まで積分し 2倍して 解いて下さい;
  
  https://www.youtube.com/watch?v=pHtDaScwNjU
  
@t さん 2017/05/24 18:36:45 報告
7
平賀先生

大数の記事のご案内、ありがとうございますm(_ _)m
週末に近くの本屋に行ったのですが、6月号が売り切れておりました…orz
(今週、丸善かジュンク堂に行ってみてきます。)

つまらない会議中も頭に放物線を思い浮かべたり、資料の裏側に放物線を
書いてつらつら考えていましたが、自分が囚われ続けていた「図形からわかる」ということは、具体的に放物線と直線の式を決めた上で、
xの値を動かしてその結果をプロットしていけばよいことに、気付きました。

囲まれた面積が等しいのは、積分の考えからも納得できるような
気がしてきました。

こんなレベルの投稿は、他の皆々様のレベルからすると赤面の至りですが、
ちょっとわかったような気がしてうれしかったので、投稿させていただきます。
おすまん さん 2017/05/30 00:16:53 報告
8
平賀先生

大数のご紹介の記事、確認いたしました。
腹落ちしたあとだったので、理解することができました!
(ただ、[式:…] と置換する…
以降のところは、まだ呑み込めていませんが、考えれば乗り越えられそうです。

週末、部屋の掃除をしていると同じ伊香先生の過去の大数に掲載された記事を
見つけました。同じくグラフのたしざん・ひきざんに関するものでした。
そちらの記事内で「グラフのたしざん・ひきざんでは、ふたつのグラフの間の
相対的な高さの差が変化しないので、交わる、接する関係や、囲む面積などが
不変に保たれる」とございました。

一瞬、考えてましたが、元のグラブの交点は、高さの差がゼロなので、グラフのひきざん後も差はゼロ(=交点になる)。 接する場合は、微分係数が一致すればよい。 接する場合は… 別の参考書をチラ見して(^^;、微分係数が一致するところからわかる。 もうちょっとでしっかり理解できそうです!
ありがとうございました!
おすまん さん 2017/06/06 01:48:12 報告