フィボナッチ型数列

  • 公開日時: 2017/04/12 20:31
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

a,b0でない整数、mを整数とする

 

今からa×f(n)+b×f(n+1)+m=f(n+2)(mod p)という数列を考える

 

mをどんな値にしても数列の長さ及び数列の個数はm=0、つまりa×f(n)+b×f(n+1)=f(n+2)のときと変わらない

 

・また、f(1)=1,f(2)=1とするとき、mの値を変えても数列内で1がでる場所が揃う

 

・更に、f(1)=x,f(2)=yとするとき、f(1)=1,f(2)=1のときに1が揃った場所で数が揃う

 

となっていることに気付きました。証明はできていません

 

 

 

具体例を書かせてもらうと

 

p=5,a=2,b=2のとき

 

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m=0

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4

0

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1

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2

0

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4

1

0

2

4

2

2

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0

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2

1

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m=1

1

1

0

3

2

1

2

2

4

3

0

2

0

0

1

3

4

0

4

4

2

3

1

4

1

1

m=2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

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1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

m=3

1

1

2

4

0

1

0

0

3

4

2

0

2

2

1

4

3

2

3

3

0

4

1

3

1

1

m=4

1

1

3

2

4

1

4

4

0

2

3

4

3

3

1

2

0

3

0

0

4

2

1

0

1

1

 

 

 

と、f(1)=1,f(2)=1のとき、mの値を変えても数列の長さが24という同じ長さ(m=2のときは(1,1)以外の数列の長さが24になっている)で、更に1が出る場所が揃っている

 

 

 

f(1)=2,f(2)=3の場合を見てみると

 

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m=0

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0

1

2

1

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0

3

1

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3

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0

4

3

4

4

1

0

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2

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m=1

2

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1

4

1

1

0

3

2

1

2

2

4

3

0

2

0

0

1

3

4

0

4

4

2

3

m=2

2

3

2

2

0

1

4

2

4

4

3

1

0

4

0

0

2

1

3

0

3

3

4

1

2

3

m=3

2

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3

0

4

1

3

1

1

2

4

0

1

0

0

3

4

2

0

2

2

1

4

3

2

3

m=4

2

3

4

3

3

1

2

0

3

0

0

4

2

1

0

1

1

3

2

4

1

4

4

0

2

3

 

 

 

 

 

と、f(1)=1,f(2)=1のときに1が揃っていた場所で数が揃っている

 

 

 

数が揃う場所の規則性を見つけられたら証明できるのかなぁと思います

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
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一部を除いて証明できました

■数列の長さ及び個数が変わらないことの証明
af(n)+bf(n+1)+m=f(n+2)(mod p)という演算でできる数列を考える(ただしa,b,m≠0(mod p))
m=0のときにできる数列{f(1),f(2),f(3),……,f(n)}の全ての数からx(ただしx≠0 mod p)引いた数列 {f(1)-x,f(2)-x,f(3)-x,……,f(n)-x}は、m=x(a+b-1)のときの数列、つまり、
af(n)+bf(n+1)+ x(a+b-1)=f(n+2)(mod p)という演算でできる数列になっている
よって、a+b≠1(mod p)のとき、mがどんな値のときもaf(n)+bf(n+1)+m=f(n+2)(mod p)という演算でできる数列の長さ及び個数はaf(n)+bf(n+1)=f(n+2)(mod p)のときと同じであることが分かる
a+b=1(mod p)のときは、数列の長さ及び個数が変わる

■f(1)=1,f(2)=1とするとき、mの値を変えても数列内で1がでる場所が揃うことの証明
a+b≠1(mod p)のときのみ考える(a+b=1(mod p)のときはまだ分からないままです)
m=0のとき、つまりaf(n)+bf(n+1)=f(n+2)(mod p)のとき
{f(1),f(2),f(3),……,f(n)}のすべてを2倍した{2f(1),2f(2),2f(3),……,2f(n)}もaf(n)+bf(n+1)=f(n+2)を満たしている。2に限らず一般にz倍してもaf(n)+bf(n+1)=f(n+2)を満たしている
{2f(1),2f(2),2f(3),……,2f(n)}のすべてから1引いた{2f(1)-1,2f(2)-1,2f(3)-1,……,2f(n)-1}は、m=a+b-1のときの数列になっている。
f(1)=1,f(2)=1なので、2f(1)-1=1,2f(2)-1=1である。一般にf(o)=1のとき2f(o)-1=1なので、m=0のときとm=a+b-1のときは、数列内で1がでる場所が揃うことが分かる

このようなやり方で証明できる。具体的には
a+b-1はpと互いに素なのでこのように1ずつ引いていくことでmは0からp-1までのすべての数をとる
ということと
{f(1),f(2),f(3),……,f(n)}にzを掛け、z-1引いた{zf(1)-z+1,zf(2)-z+1,zf(3)-z+1,……,zf(n)-z+1}
を考えることで示せる

f(1)=x,f(2)=yとするとき、f(1)=1,f(2)=1のときに1が揃った場所で、数が揃うことの証明はできていません
水宮うみ さん 2017/04/14 17:57:18 報告