modpでの一般フィボナッチの更に一般化と乗法群

  • 公開日時: 2017/04/06 00:00
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

a×fn+b×fn+1=fn+2」という演算をmod pで考えると、色々面白そうな予想ができたので投稿します

 

a×fn+b×fn+1=fn+2」というのは例えば、f1=3f2=5のとき、f3= a×f1+b×f2=3a+5bとなるということです

 

f1,f2,f3,……,と数がループするようになるまで続けます

 

a,b0でない整数とします。(ちなみにa=0のときは乗法群になっている)また素数を法とする場合(mod p)のみを考えます

 

素数を法としない場合は、「mod 10のフィボナッチ数列」という投稿で書いたことがこの場合(a×fn+b×fn+1=fn+2」という演算の場合)でも言えるかな、と予想してるくらいです

 

 

 

①ループのなかの数の総和は、(a+b-1)pが互いに素のとき0になる?

 

②ループを円形に配置して、正多角形状に足すと、新たなループが出る?また、そうやってできるループは必ず乗法群?

 

③乗法群になっていないループは全て同じ長さ?つまり、乗法群になるループがないならば、ループの長さは必ず1通りだけ?(この辺りを考えることで普通のフィボナッチ数列が一番周期の長いループになることの説明がつく?)

 

③ループの長さが2通りになることがあるのは、乗法群になるループがある素数を法とするとき?

 

xの二次式x^2-bx-a=0が既約多項式でなく、2つの整数解を持つとき、ループの長さが3通り出るようなpがある?また、ループの長さが3通り出るようなpが必ず存在するのはx^2-bx-a=0が整数解を持つときだけ?

 

modpで乗法群になるループがあるとき、ループの長さは(p-1)の約数になっている?また、乗法群になるループがないとき、ループの長さは2(p+1)の約数になっている?

 

⑥ループ内で隣り合う数の和(あるいは差)をとってもループができる?

 

x^2-bx-a=0が既約多項式のとき

 

⑦mod pで要素に02個あるループがあるとき、mod pが乗法群になるループを持っていた場合も、すべてのループが同じ長さになる?

 

⑧ループのなかに0があったとき、0c[0]とし、0dだけ離れているふたつの数をc[-d], c[d]とすると、dが奇数ならc[-d]=c[d],dが偶数ならc[-d]+c[d]=0になっている?←ただしa=1のとき

 

 

 

 

 

①は証明できます

 

ループのなかの数の総和をRとするとき、aR+bR=R、つまり(a+b-1)R=0(mod p)となるので、(a+b-1)pが互いに素のときはR=0、つまりループのなかの数の総和が0になるのが分かる

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1
あと、
a×f「n」+b×f「n+1」+m=f「n+2」(mは整数)という計算でできるループの長さ及び個数は、a×f「n」+b×f「n+1」=f「n+2」のときと同じ、と予想しました
あ・あっくん さん 2017/04/09 09:14:34 報告