5n±1型の素数を法とするときの隣り合う原始根

  • 公開日時: 2017/03/30 20:08
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

 

 

5n±1型の素数pを法とするとき、1+a=a^2(mod p)を満たす整数aが存在する

 

なぜなら1+a=a^2ということはa=(1±√5)/2なので、√5が整数になる、つまり5が平方になっているpを法とするときaが整数になるからである

 

 

 

2つ予想しました

 

①p=11,19(mod 20)のとき、mod pで1+a=a^2を満たし且つ原始根にもなっているaが存在するならば、(a-1),(a-2)も原始根になっているのではないか

 

②p=1,9(mod 20)のとき、1+a=a^2(mod p)を満たす2つのa(a[1],a[2]とおく)のうち、どちらかが原始根ならもう片方も原始根になっている。また、そのときa[1]-1,a[2]-1も原始根になっているのではないか

 

 

 

p=11,19(mod 20)のときとp=1,9(mod 20)のとき、どちらの場合もaが原始根なら(a-1)も原始根になっていることは示せます

 

1+a=a^2(mod p)なので、a(a-1)=1(mod p)になっていることが分かり、(a-1)がaの逆数になっているので、(a-1)とaの位数が同じであることが分かる

 

よってaが原始根なら(a-1)も原始根である

 

 

 

 

②のどちらかが原始根ならもう片方も原始根になっていることの証明できました

 

√5(mod p)を満たす2つの値を±xとおく(2乗して同じ数になる値なのでこう置ける)

 

a[1]=(1+x)/2,a[2]=(1-x)/2とおけるので、a[1]a[2]=-1(mod p)、つまりa[1] =-1/ a[2] (mod p)

 

pが4n+1型の素数のとき、cが原始根なら-cも原始根で、更に1/c,-1/cも原始根なので、p=1,9(mod 20)のとき、a[1] =-1/ a[2] (mod p)より、a[1]が原始根ならa[2]も原始根になることが分かり、1+a=a^2を満たす2つのaのうちどちらかが原始根ならもう片方も原始根になることが分かる

 

 

 

①の(a-2)も原始根になる、は証明できていません

 

 

 

 

 

 

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